数学教学中最具误导性的替代定义是什么？

Question

我认为这个问题可以用两种方式解释。通常情况下，在实践中使用同一想法/对象的两个或多个等价（但不一定在语义上等价）定义。是否有更自然或更直观的等效定义的例子？（我的意思是更直观，所以不是主观的。）

或者，标准讲座课程中有哪些常见示例一个特别的符号定义模糊了所传达的概念。

Answer 1

线性代数中的许多主题都受到问题。例如：

在线性代数中，人们经常会看到由一些不虔诚的公式定义的矩阵，通常与给出了如何计算它的特殊图表和助记符比如，在3x3的情况下。

det（A）=一个糟糕的公式

即使是相对老练的人也会坚持det（A）是置换等上的和，符号为均等等。学生陷入这种思维方式不理解行列式。

正确的定义是det（A）是应用转换后的单位立方体图像由A决定。仅此一点，一切随之而来。一个立即看到det（A）=0的重要性，这就是为什么初等运算有相应的行列式，为什么对角矩阵和三角矩阵有决定因素。

偶数矩阵乘法，如果由通常的公式，似乎武断甚至疯狂，没有一些背景理解为什么这样定义。

这里更重要的一点是，尽管问题是有一个错误的定义，但真正的问题是有限的视角会影响一个人对一个主题的整体态度。定理，问题、练习、例子以及定义都可能出现从一个错误的观点来看一个主题！

通常，（本科生）线性代数是作为关于静态对象的主题——矩阵坐在那里，具有与其相关的复杂公式，以及使用执行的复杂程序，通常不需要显而易见的原因。从这个角度来看，许多矩阵规则似乎完全是任意的。

教授和理解线性代数的正确方法是作为一个完全动态的主题。目的是了解空间。这太令人兴奋了！我们想拉伸空间，扭曲它，反射它，旋转它。我们如何表示这些转变？如果它们是线性的，那么我们将得到考虑单位基向量的作用，我们被引导自然地转换为矩阵。矩阵相乘应表示构成转换，并由此派生乘法规则。中的所有常见主题初等线性代数与基本上是与相应的转换。

Answer 2

这是我的另一个代数难题。正规子群在共轭方面的定义很奇怪，直到有人解释说正规子群是可以进行商的子群。我认为正规子群应该作为get-go中同态的核引入。

Answer 3

根据我的经验，代数入门课程从不费心去澄清直和和直积之间的区别。对于有限的阿贝尔群集合，它们也是一样的，在我看来，这让人感到困惑。

当然，对于无限集合来说，它们是完全不同的。我认为应该尽早让学生们知道，第一个是副产品，第二个是$\text{Ab}$中的产品。这也澄清了非阿贝尔群的构造，因为直积仍然是$\text｛Grp｝$中的乘积，但副积非常不同！

Answer 4

我越来越讨厌引入有限环$Z_n$不是作为$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$但作为布景$\{0，\ldot，n-1\}$使用“时钟算法”。（我知道，如果你想在高中或以下水平引入模运算，这是一条路。我指的是以这种方式引入这一概念的本科生抽象代数教科书。）

两个问题：

1. 使用时钟激励加法模n美元$：优秀的教学法。一定要提到军事时间，从$0$到$23$而不是$1$到$12$两次。但是…使用时钟激励乘法模n美元$：WTF？时间平方？？国防部$24$??? 这是最糟糕的教育方式：听起来应该有道理，但实际上没有。

   当然，很快你就不再胡作非为了，并解释说你只想对数字进行加法/减法/乘法运算，然后取余数modn美元$。这让我想到：

2. 许多文本定义$Z_n$作为集合$\{0，\ldot，n-1\}$并通过取余数mod赋予它加法和乘法n美元$然后他们说这给了我一个戒指。为什么呢？例如，为什么加法和乘法是关联运算？如果你想一想，你会发现所有的解释都必须经过这样一个事实$\mathbb{Z}$是一个在通常的加法和乘法运算下的环$Z_n$是从那些$\mathbb{Z}$通过传递到商。当然，你不必使用这些确切的单词，但我看不出你如何避免使用这些概念。因此，你应该从一开始就兜售同态概念。

   作为推论，我的意思是：有限环的概念$Z_n$对一些人来说通用的 n美元$比一个无限环的逻辑更复杂$\mathbb{Z}$（这统领了他们所有人？）。许多人似乎含蓄地认为，事实恰恰相反。

Answer 5

一个简单的例子是事件独立性的两个定义：

1. 当$P（A\cap B）=P（A）P（B）时，A和B是独立的$
2. 当$P（A\mid B）=P（A）时，A独立于B$

一些演示以定义1开始，这完全没有什么信息：它没有解释我们为什么要费心讨论这个问题。相反，定义2确切地说明了“独立”的含义：知道B已经发生并不会改变A发生的概率。

对该主题的合理介绍应从定义2开始；然后观察到当P（B）=0时存在问题，并解决它；然后观察独立性是对称的；然后导出定义1。

Answer 6

我特别不喜欢的一点是将组G在集合X上的作用定义为满足某些属性的函数$f:G\乘以X\右箭头X$。当“从G到X的置换群的同态”不仅更容易理解，而且也是人们后来对群作用的思考方式时，我不理解为什么有人给出这个定义。

Answer 7

我通常不会为一个有5个月历史的社区维基而烦恼，但有人删掉了它，我忍不住注意到，大多数示例都是高度代数化的。我不想让那些漫不经心的读者忘记这样一种印象，即在分析和几何中，一切都是正确定义的，所以现在我们开始。。。

1） “流形上的光滑结构是地图集的等价类……”除了很少有人直接使用地图集的显式例子这一事实之外（除了重要的反例，如球体上的立体投影和投影空间上的齐次坐标），这种观点似乎掩盖了平滑结构的两个重要特征。首先，平滑结构的真正目的是产生平滑函数的概念，定义应该反映出这一重点。根据地图集的定义，我们必须证明在一个地图集中平滑的函数在任何等价的地图集上也是平滑的（虽然不太困难，但仍然是一个令人恼火且基本上不相关的琐事）。其次，从定义中应该清楚地看到，平滑实际上是一种局部条件（每个点都有全局障碍物，成为“平滑”点，这当然很有趣，但也不是重点）。这两个问题的解决方案是从get-go调用局部环空间形式主义的某些版本。是的，这需要老师和学生们做一些工作，但我和我的一些同龄人证明，几何可以这样教给二年级本科生。如果你仍然不相信有任何好处，试试下面的练习。坐下来，利用（a）最大图谱定义和（b）局部环空间定义，写出流形通过自由且适当不连续的群作用的商具有标准光滑结构的完整证明。

2） “流形上的切向量是一个点求导……”虽然具有这种观点绝对有很多优点（尤其是它在代数几何中是一个更好的定义），但我认为这是一个误导性的定义。实际上，我认为一个好的定义应该具有的关键特性是强调切线向量和平滑曲线之间的密切关系。注意，这样的定义必然涉及在给定点具有相同导数的光滑曲线的等价类，而光滑曲线导数的概念是通过与光滑函数组合来定义的。因此，对于那些真正喜欢点导数的人来说，它们已经不远了。这里只需要提到一些曲线，在很多方面，这正是微分几何的独特之处。

3） 几何群论中的顺从性概念特别容易引起误解。我认为有两个原因。第一个是模数-一些轻微的夸张-基本上所有顺从组共享的每个属性都等同于定义。第二个问题是，适应性出现在许多不同的背景下，因此可能不可能说有一个而且只有一个“正确”的定义。每个定义对于某些目的都是有用的，而对于其他目的则不是有用的。例如，涉及左不变平均数的定义可能对几何群理论家最有用，而涉及对偶正则表示的拓扑性质的定义可能与表示理论家更相关。尽管如此，我认为我可以自信地说，存在“错误”的定义。例如，我花了大约一年的时间思考，对一个组的顺从性的正确定义是，它的简化组C*代数和它的完整组C*代数学是相同的。

4） 一些函数分析书籍对弱拓扑的定义非常糟糕，包括指定开集的某些基。这个观点对于证明某些引理和使用一些示例很有用，但考虑到分析中存在大量的弱拓扑，这些书实际上应该给出相对于任何给定函数族的弱拓扑的抽象定义，然后通过指定相关函数族来指定拓扑。

我相信我可以继续下去，但事实证明，这四个人对我来说特别困难和沮丧。

Answer 8

我最大的烦恼之一是教授或书籍未能充分区分环的素元素和不可约元素，如果我记得正确的话，Herstein是a（哈哈）首要的这个例子。事实上，这些都是相同的Z轴人们第一次了解独特因子分解的地方无济于事。

Answer 9

我最大的问题是张量乘积的坐标定义。物理学家将维为$n$的向量空间$V$上的秩$k$张量定义为与满足特定变换规则的$V$每个基相关联的$n^k$标量数组；特别是，如果我们知道给定基的数组，我们可以自动确定不同基的数组。另一种说法是，张量空间是由基和标量数组组成的对的集合，由给出坐标变换定律的等价关系标识。对于一些人奇怪的原因，人们似乎称之为坐标-自由的定义。虽然从某种意义上说它是无坐标的（坐标之间的转换可以让你在某种意义上摆脱坐标），但乍一看它非常令人困惑。使用这个定义的人会说某些操作是无协调的。他们的意思是，我花了很长时间才弄明白，你可以对张量的坐标进行某种代数运算，无论您使用哪种基础，公式都是相同的（例如，将协变秩$1$张量与逆变秩$1$s张量相乘以得到标量，或微分形式的外微分，或将两个向量相乘以获得秩$2$张量）。

更好的定义是使用张量积。这是一个无坐标的建筑，而不是全坐标上述描述。这个定义很好，因为它连接到多线性映射（特别是它有一个很好的通用属性）。这也帮助我理解了为什么张量不同于同一场上某些n^k$维向量空间的元素（它们是特殊的，因为我们不仅拥有向量空间，而且还拥有从$V\times\cdots\times V\到V\time\cdots\otimes V$的多重线性映射。协变/逆变区别可以用泛函来解释。这使您可以讨论张量的收缩，而不用担心证明它是坐标的te-in-variant！最后，一旦您达到了最佳状态，就可以很容易地从$\otimes$的多重线性中导出坐标变换定律。

Answer 10

我认为单数同源的标准定义相当糟糕。

从某种意义上说，这是一件历史遗留物拓扑学家非常关心自然主义流形是否具有组合上不同的三角剖分以及类似的问题，因此他们决定这些关注比传授关于同源类的坚实基础直觉更重要是.

根据我的经验，首先看到庞加莱对庞加雷二元性的证明的人与看到单一同源性解释的人相比，通常对实际发生的事情有更好的了解，他们认为庞加尔二元性是轻而易举和自然的，而大多数通过单数同源性来看待这一问题的学生往往认为这是一个遥远而棘手的问题。

所有这些努力都是为了什么？所以学生可以知道，当他们看到的所有例子都是光滑流形时，拓扑流形上的庞加莱对偶性是正确的。

编辑：我更喜欢用一种方式来描述庞加莱的证明，那就是稍微现代化一点。您的设置是一个三角流形$M$，然后构造对偶多面体分解（CW-decomposition），以便$M$的（单纯形）$i$-单元与$M$（对偶多面体）$M-i$-细胞是双向对应的。这比生活在简单的世界里要简单得多。然后证明（直到符号改变）单形同调的链式复数是对偶多面体分解的上同调的链复数。最麻烦的是在可定向的情况下跟踪方向。

Answer 11

另一个简单的例子是等价关系的定义：

1. R（.，.）是一个等价关系，当R是自反的、对称的和传递的。
2. R（.，.）是等价关系，当存在函数f时，R（a，b）当f（a）=f（b）。

大多数陈述都以定义1开始，它没有暗示我们为什么要费心讨论这种关系，或者为什么我们称它们为“等价物”。相反，定义2（连同几个示例）立即告诉您，R捕获了域元素的一个特定属性；而且，由于该属性具有相同值的元素被称为“等价”，因此R被称为是“等价”。

一个合理的介绍应该从定义2开始，然后继续证明定义1是一个方便的替代特征。

Answer 12

A类功能是有序对的集合，因此。。。

Answer 13

人们经常会看到累积量概率分布的定义是：累积生成函数是矩生成函数的对数：$$\sum_{n=1}^\infty\kappa_n\frac{t^n}{n！}=\log\sum_{n=0}^\infty\operatorname{E}（X^n）\frac}{t^n！}=\log\ operatorname{E}\left（E^{tX}\right）。$$这无法解释概率分布累积量这一概念背后的基本动机之一。

方差$\operatorname{var}（X）=\operator name{E}\left（（X-\operatormame{E}（X））^2\right）$同时

• $2$nd次同构：$\operatorname｛var｝（cX）=c^2 \operatorname｛var｝（X）$；
• 转换invariant:$\operatorname{var}（c+X）=\operator name{varneneneep（X）$；
• 累计：$\operatorname{var}（X_1+\cdots+X_n）=\operator name{varneneneep（X_1）+\cdot+\operatoriname{var{（X_n）$，如果$X_1、\ldot、X_n$是独立的。

高阶中心力矩也具有前两个特性（在每种情况下具有适当的同质性），但第三个特性对于$4$th和高阶中心矩失效。（众所周知，它适用于$3$rd度的中心时刻，这让人们感到惊讶。要证明这一点很容易。）

所有累积量都具有上述三个性质（同质性程度等于累积量的程度）。

例如：

$$\text{4th cumumnt}=\Big（\text{4th central moment}\Big）-3\cdot\Big$$

这是$4$th度的同质、平移和累积。

$1$st阶以上的每个累积量都是中心矩中具有这三个性质的唯一多项式，对于它，$n$th累积量中$n$t阶中心矩的系数为$1$。

这难道不是一个比“定义”更直观、更激励人心的累积量特征吗？“定义”指的是动量生成函数的对数？

Answer 14

与gowers关于群作用的回答类似，环R上的模是阿贝尔群M以及满足某些性质的函数$f:R\乘以M\到M$。它可能会让初学者放心地听到，“它们就像向量空间，除了在任意环上，而不仅仅是域上”，这本身就有误导性，但对于记住定义来说是一种很好的记忆方法。然而，我通常发现更直观的做法是将R上的模看作是从R到阿贝尔群的自同态环的同态，并且使用这个定义不需要助记符。

Answer 15

我知道这个评论会有点争议，但我坚信标准（代数）教科书对微分形式d的定义是不合逻辑的。

我更喜欢阿诺德（Arnold）的GTM经典力学著作《Just》（Just定义形式的d是使斯托克斯定理成立的东西！

然后推导出形式d的代数公式每一步，学生都不会遇到未知的令人困惑的代数定义原产地。

Answer 16

受一些评论的启发，我将提名无限积拓扑的开集定义，如Munkres的其他优秀的开集拓扑结构“J}X_\alpha$中$X=\prod_{\alpha\的产品拓扑是由$\pi_\alalpha^{-1}（U_\alfa）$形式的集合生成的拓扑，其中$U_\alpha$是$X_\阿尔pha$的开放子集。”然后证明，也可以使用J}U_\阿尔法$中$U=\proe_{\alpha\形式的集合的基，其中$U\alpha$在$X_\ alpha$打开，$U_\alpha=X_\alfa$表示除有限个$\alpha\以外的所有$\alfa\（以J$表示）。这只是让它看起来像是一个恼人的和不自然的盒子拓扑修改。

在我看来，更好的方法是将$X=\prod X_\alpha$显式地视为函数空间（而不是某种元组，尽管它们实际上是下面的函数），并使用网络术语。然后很明显，乘积拓扑只是逐点收敛的拓扑，即当J$中的所有$\alpha的网络为$f_i（\alpha）\to f（\Alfa）$时，$f_i\to f$iff。

在这个定义下，Tychonoff定理（以前看起来相当模糊）与Heine-Borel结合时有一个明显的应用：给定任意集合$J$和函数$f_i:J\to\mathbb{R}$的逐点有界网，就有一个子网逐点收敛。这可能是最有用的应用程序，尤其是在函数分析中。（事实上，我理解这实际上是Tychonoff的原始定理，即闭区间的任意乘积是紧的。）例如，它使Alaoglu的定理变得清晰，一旦你看到弱-*拓扑只是逐点收敛的拓扑。

很好地将其与Arzela-Ascoli定理进行比较，该定理指出，如果$J$是一个紧Hausdorff空间，并且函数$f_i$不仅是逐点有界的，而且是连续和等连续的，那么子网（实际上是子序列）不仅逐点收敛，而且实际上是一致收敛。

Answer 17

那些优雅简洁到混淆直觉的定义呢？这一类型的经典之作：

1. A类森林是一个非循环图；
2. A类树是一个连接的林。

（想必我们大多数人都不会对森林被定义为树木不相交的结合感到惊讶。）但也许有一个令人震惊的定义值得一提：我永远不会忘记这一点，也许我会永远记得我第一次看到它的那一刻。

同样，我曾经看过一段视频，视频中约翰·H·康威在做一场关于普通人的讲座。按照惯例，他首先定义了有序集的概念。但他给出的定义是非传统的：

带有传递关系$\mathord{（\leq）}\subseteq S\times S$的集合$S$，这样每个非空的$T\subsete S$都有一个唯一的最少的元素$m\以T$表示，这样$m\leq T$表示T$中的所有$T\。

注意，这意味着自反性（将$T$作为单例）；总体（通过两元素集合中最小元素的存在）；和反对称性（通过二元集合中最小元素的唯一性）。所以它等同于通常的定义。这当然令人难忘！但如果我不熟悉通常的定义，我怀疑自己会理解。

Answer 18

我看到了一个突然出现的问题：某个数学对象有许多特征，其中任何一个都可以作为定义。你在介绍主题时用了哪一个？

首先想到的是向量空间的基础。也许这不是这个讨论主题的标题问题的最佳示例，但我知道这让一些学生感到困惑。当我上次教线性代数时，我们至少教了他们四个特征。事实上，这些描述并不是模糊或误导。相反，每一个都突出了一些重要的属性。当然，更好的学生喜欢看到所有的特征，他们欣赏每一个。不太聪明的学生会感到慌张，因为他们只想有一种正确的思考方式。

可逆矩阵或线性变换的特征也会出现类似的问题，尽管至少对于矩阵来说，将可逆矩阵定义为具有逆矩阵的矩阵似乎是最合理的，也就是说，您可以将其与另一个矩阵相乘以得到单位矩阵。

引入拟阵时，这个问题突然出现。

Answer 19

既然这是一个大名单，我不妨在5年后发表评论。

David Corwin提到了张量积，而上面的帖子是关于线性代数的，所以我想我应该提到，在我看来，坐标定义通常会模糊含义。在继续之前，我会提到我并不是说坐标不好！我只是认为引入坐标概念往往很难被人发现。

我发现有几个例子被坐标遮住了：

1. 衍生品。最简单的例子是映射$f:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$的微分。这通常由雅可比矩阵给出，虽然雅可比在计算中非常有用，但我一点也不清楚它是如何推广普通导数的，直到我看到证明它在某一点满足导数的无坐标定义为止。即，映射$D_af:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$，这样

$$\lim_{\lvert-x\rvert\rightarrow0}{{\lvert f（a+x）-f（a）-D_af（x）\rvert}\ over{\lvert-x\rvrt}}=0$$

2. 张量乘积和张量。大卫·科尔文已经谈到了这一点。

3. 歧管上的局部坐标。我认为在使用局部坐标时会丢失许多优雅的定义和属性，例如，在局部坐标设置中解释切线空间时，切线空间变得非常笨拙和不自然（尽管它确实变得更加直观）。

4. 矩阵和线性映射。我建议阅读最上面的帖子。但我要提到的是，我个人最为担忧的是行列式：在我了解行列式作为相关线性图的最高外幂的定义之前，它们对我来说毫无意义！

Answer 20

卷积：无论是函数、测度还是序列的卷积，通常通过给出结果函数（或测度等）的显式公式来定义。虽然这个定义使得卷积的计算相对容易，但它对卷积的真正含义并没有什么直观的认识，而且通常看起来基本上没有动机。在我看来，定义卷积（例如，LCA群$G$上两个有限复Radon测度的卷积，这是一个相对普遍的情况）的正确方法是将群积的唯一双线性弱*连续延拓到$M（G）$（如上所述的测度空间），其中$G$自然地与点质量标识。然后可以将定义限制为$L^1（G）$，并得到众所周知的函数卷积的显式公式。当然，概率论者可能更喜欢将卷积视为与两个独立的绝对连续随机变量之和相关联的概率密度函数。还有其他可能的替代定义（参见数学溢出讨论). 但在我看来，公式定义确实是最难获得直觉的定义。

Answer 21

好的，我很晚才加入，但让我告诉你。

我认为通常给出的以下关系定义具有误导性：

“错误”定义：关系R美元$在集合之间美元$和套装十亿美元$是笛卡尔积的任意子集，$R\子结构A\次结构B$.

事实上，我认为这是一个“错误”的定义：

• 它混淆了这样一个事实，即源集和目标集的数据是重要的，并且本身也是定义的一部分。例如，如果您定义了功能作为满足功能属性的关系（在上述定义的意义上）(A\中的所有x\都存在$\！y\在B中：（x，y）\在R中$)那么，密码子的概念将不会得到很好的定义（或没有明确的定义），人们可能会认为$x\mapsto x ^2$作为函数$\mathbb R\to[0，+\infty）$实际上等于$x\mapsto x ^2$作为函数$\mathbb R\to\mathbbR$.
• 它允许您定义，鉴于 美元$和十亿美元$（按顺序），集合$\mathsf{Rel}（A，B）$之间的关系美元$和十亿美元$，但不是（立即）全部的关系（或给定宇宙中所有关系的集合美元$).
• 它不太清楚应该有一个类别 $\mathsf{Rel}$，集的关系为态射，其中$\mathsf{Rel}（A，B）$是豪姆赛特。

正确的定义当然应该是：

“权利”定义：关系是三元组$（A、B、R）$哪里美元$,十亿美元$是集和$R\子结构A\次结构B$.

现在，密码子的概念得到了很好的定义（或明确定义）。以及类别$\mathsf{Rel}$定义明确。

Answer 22

根据$G$模的张量积和$G$上的向量值函数定义的诱导表示。如果表象理论中更多的教科书更加强调这一点，那就太好了。我想这两种定义各有利弊，但我个人对函数的解释更为满意。

Answer 23

我记得被向量场的多变量微积分方法弄糊涂了。有时将函数视为函数，有时视为场。应该可以传达这样的想法，即在每个点上附加一个方向导数空间，而不必讨论向量束。

总的来说，我可以接受一门课程的幕后工作要比时间多，但简单地知道有一种更通用和“正确”的做事方式对我很有帮助。这也往往会使课程更有趣。

Answer 24

大多数教科书中讲到的点集拓扑的整个分支都有完全不直观的定义，从而模糊了整个主题。例如，用开集定义拓扑空间并不能说明点集拓扑的含义。如果拓扑空间最初是根据拓扑闭包算子定义的，这将更加清楚，因为闭包算子，因为如果集合$A$以某种方式接触点$x$，直观上我们有$x\in\overline{A}$。点集拓扑中其他不必要的模糊概念包括乘积拓扑、子空间拓扑、Hausdorff空间、正则空间、紧空间和连续函数的定义。此外，当空间不需要是豪斯多夫时，一些定义被模糊了。例如，如果没有豪斯多夫分离公理，紧致性、准紧致性、正则性和正规性的概念就没有多大意义。如果有一个非Hausdorff空间，其中每个开覆盖都有一个有限的子覆盖，那么应该将该空间称为准紧而非紧。很遗憾，一般拓扑学是以这样一种毫无意义的方式教授的。

Answer 25

如果$f^{-1}（G）$对在$\mathbb R$中打开的所有$G$都是开放的，那么函数$f:\mathbbR\to\mathbb-R$是连续的，它不如连续函数的delta epsilion定义直观。

Answer 26

当我们写张量积时，可以选择指出我们在其上做张量积的环；我们可以写$M\otimesN$或$M\opimes_RN.$。但对于元素，我们总是在不引用$R.$的情况下写$x\otimes y$。您必须记住这一点，这可能会导致错误。例如，$v\otimesu^2-u\otimes uv$可能是$\ne0{：}$，它取决于基环，并且它没有出现在[符号]中。

有时问题不在于概念，而在于我们使用的符号。

Answer 27

我发现单纯同源性很难。特别是，我发现简单复合体的概念很难理解，除非是抽象的简单复合体。虽然它不是等价的，但我更喜欢Hatcher所说的$\Delta$-复数的概念，尽管我对该定义仍有一些疑问。

Answer 28

A类离散的概率分布通常被定义为具有该分布的随机变量的值的数目是有限的或可数无限的。

我更喜欢将其定义为一个$\displaystyle\sum_x\Pr（x=x）=1的值，其中$的总和大于$\Pr的所有值$x$（x=x）>0$

（应该不将其定义为支撑有限或可数无限的一个。例如，假设概率分布为$0$到$1，$之间的每个有理数的单个赋值正概率，且这些概率的总和为$1.$那么，$0$和$1$（含）之间的每个实数都在支持范围内，因为每个此类数的每个间隔都具有正概率。）

Answer 29

“素数”有时被定义为正好有两个正除数的数字，即本身和$1.$。这种特征的不足之处在于它并没有以下面的方式激发定义。$$\开始{数组}{cccccccc}& & & & 60 \\&&&\swarrow&&\searrow\\& & 4 & & & & 15 \\&\swarrow&\向下箭头&&&\swarrow&&\searrow\\2 & & 2 & & 3 & & & & 5\结束{数组}$$人们可以通过提取$1$s继续进行因子分析，但这并没有提供任何信息，因为它无法区分被因子化的数字与其他数字。这个定义的动机是数字$1$在这个过程中不能像合成数或素数那样发挥作用。

（对于欧几里德来说，这并不成问题，因为他不认为1美元是一个数字。）

Answer 30

$\pi=3.14$cm。当然是一周中的舌头，但这应该可以在书中找到。