Betti上同调中的Hodge分解

Question

广义的、一般的和不恰当的问题可以这样表述：

让X美元$是一个紧凑的Kälher流形（甚至是投影流形）。如果考虑霍奇分解$H^k（X，\mathbb{C}）=\bigoplus_{p+q=k}H^{p，q}（X）$并将左手边解释为Betti上同调$\text｛Hom｝（\pi_1（X），\mathbb｛C｝）$，哪个同态适合哪个直接summand？

我相信这已经被很好地研究过了，但找不到任何参考。如果没有一个确切的问题，可能就没有什么可说的了，所以让我们看一下动机，并在下面给出更准确的陈述。

动机

我试图研究Simpson的非阿贝尔上同调的简单情形（例如他的论文“光滑投射簇的基本群的表示模”），第一个可能的想法是将自己简化为阿贝尔情形。因此，在阿贝尔上下文中，非阿贝尔情形中感兴趣的一些问题应该变得容易，而上述内容为其中之一提供了基础：Simpson定义了Betti和Dolbeat非阿贝尔上同调，然后证明了所构造的空间实际上是自然同胚的，并研究这些“不同世界”中定义的对象之间的交互。在阿贝尔上下文中，这归结为将上同调解释为一方是奇异上同调，另一方是Dolbeat上同调的直接和。

更具体的问题

人们可以特别考虑任何给定的子组$G\subset\mathbb{C}$，并只寻找在该子群中取值的同态（如果$克$是子字段，这意味着要考虑$H^k（X，G）$，否则在这个上同调群中可能会有一些扭曲，如果我们只取$H^k（X，\mathbb{C}）$同上）。那么，可以说这个子组是否$H_G\子集H^k（X，\mathbb{C}）$，包含在霍奇分解的某些纯部分中$H^{p，q}（X）$? 我本以为这完全取决于X美元$，但再想想，似乎总有话可以说：例如，如果$k=1$，然后$H_{\mathbb{R}}$从来没有包含在某个重量的任何纯部分中（因为它们通过共轭互换），而我所做的一些工作会让人认为如果$G=\lbrace k\pi i\rbrace_{k\in\mathbb{Z}}$，然后$H_G\子集H^{0,1}（X）$，至少对于X美元$投射的，这样$H_1（X，\mathbb{Z}）$没有扭曲（我绝对不确定这个证明的正确性，如果这个事实是真的，那么应该有一个比我想到的更直接的想法）。此外，对于$k=2$，然后总是$H_{\mathbb{R}}\cap H^{1,1}（X）\neq\空集$因为有Kähler形式，而问题是如果$H_{\mathbb{Z}}$是的子集$H^{1,1}（X）$通过Kodaira嵌入定理等价于X美元$具有投射性。

因此，一个更为集中的问题可能是：

对于紧致Kähler流形的哪些类和哪些（在循环的情况下）子群$G\subset\mathbb{C}$我们知道的是Dolbeaut类型的元素$H_G（美元）$在一些内部$H^k（X，\mathbb{C}）$?

如果考虑到一个家族，允许霍奇结构的变化（在很小的情况下），这个问题可能会变得更有趣（因此，可能不会有任何敏感的答案）$X\到S$.我对霍奇结构的变化了解不多，所以这可能是众所周知的。在这种情况下，可以肯定的是$k=2$和$G=\mathbb{Z}$为假（投影变量的小变形不必是投影的）$G=\mathbb{R}$是真的（Kähler流形的小变形是Káhler）。在这种情况下，人们可能想放弃平滑性假设，或者，另一方面，要求同构$X\到S$既突出又平滑。

Answer 1

这确实是对多努·阿拉普拉（Donu Arapura）答案的评论，但它似乎足够大，值得发表自己的帖子。在$GL_1$的情况下，Simpson再次考虑了三个空格：

$M_{betti}$：$X$上$\mathbb{C}^*$-本地系统的空间。如果你愿意的话，你可以把它看作是具有可积连接的光滑复线束。

$M_{DR}$：全纯线的空间在$X$上捆绑$L$，配备了一个可积的全纯连接。（与全纯连接兼容会强制$c_1（L）$在$H^2（X）$中为$0$。）

$M_{Dol}$：全纯线的空间将$L$捆绑在$X$上，其中$c_1（L）=0$位于$H^2（X）$中，并配备了一个$\mathrm{End}（L）$-valued$1$-形式。$\mathr M{End}。

第一个空格是$\mathrm｛Hom｝（\pi_1（X），\mathbb｛C｝^*）=H^1（X，\mathbb｛Z｝）\otimes\mathbb｛C｝^*$。在后一种形式中，它具有自然的代数结构，即乘法代数群。

第二个空格是$\mathrm{Pic}^0（X）$上的仿射束。每个纤维都是$H^0（X，\Omega^1）$的一个torsor，因此我们可以通过在$H^1（\mathrm{Pic}^0（X），\mathcal{O}）\otimesH^0。通过GAGA，$\mathrm{Pic}$上的上同调群在代数或分析上是相同的；从代数的角度来看，我们得到了$M_{DR}$上的代数结构。

第三个空格是$\mathrm{Pic}^0（X）\乘以H^0（X，\Omega^1）$（对于较大的$n$，这个向量束可能很重要）。由于显而易见的原因，它具有代数结构。

这些空间之间的关系如下：这三个空间都是不同同构的$M_{betti}$和$M_{DR}$是同构的复解析簇，但具有不同的代数结构$M_{Dol}$和$M_{DR}$不像复杂的解析变量那样同构，相反，$M__{Dol}$是仿射束$M_}DR}$是其torsor的向量束。

你可能喜欢把这一切写在$X$椭圆曲线的坐标中。作为光滑流形，所有三个空格都应该是$（\mathbb{C}^*）^2$。

Answer 2

马可，

既然我不完全理解你的要求，让我来讨论一下你说的话激励着你。如果不相关，你可以这么说。当$X$是紧Kaehler流形时那么Simpson所说的Betti模空间$M_B（X）$是$Hom（\pi_1（X），GL_n（\mathbb{C}））/共轭$中的半简单表示集。这可以做成多种形式（实际上是一种方案）。当$n=1$时，这很简单$$Hom（\pi_1（X），\mathbb｛C｝^*）=H^1（X，\mathbb｛C｝^*）$$另一方面，“Dolbeault模空间”$M_{Dol}（X）$是希格斯束的模空间（满足适当的条件）。同样，在秩1的情况下，这只是余切束Picard环面的$T^*Pic^0（X）=Pic^O（X）\乘以H^0（X，\Omega_X^1）$。信件在这种情况下，可以从标准霍奇理论推导得出；它是在辛普森的第21页上画的希格斯束和本地系统，还有它值得自己填写细节。

你会注意到的一件事是，这个故事并没有真正的与超过$H^1$的上同调有很大关系。事实上，这并不完全正确。尽管常见问题解答不鼓励讨论开放性问题，但让我提一个这可能与您的问题有关：

是自然地图的图像$H^*（\pi_1（X），\mathbb{C}）到H^*？