$\operatorname{Fun}（\mathcal{C}，\mathcal{D}）^n$是$\operatorname{Fun}（\tathcal{C}^n，\mathcal{D}^n）的子类别$

Question

让$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$是$\单位$-范畴（我指的是准范畴，尽管我怀疑这几乎无关紧要），让第1季度$是一个整数。有一个函子

$$\theta:\operatorname{Fun}（\mathcal{C}，\mathcal{D}）^n\to\operator name{Fun}（\tathcal{C}^n，\mathcal{D}^n）$$

由提供$（F_1，\点，F_n）\mapsto F_1\次\cdots\次F_n$.是否有子类别$\mathcal{X}\subset\operatorname{Fun}（\mathcal{C}^n，\mathca{D}^n）$这样的话$\θ$限制为范畴等价$\operatorname{Fun}（\mathcal{C}，\mathcali{D}）^n\xrightarrow{\simeq}\mathcal{X}$? 对于普通类别，这是一个微不足道的问题，但我不知道如何解决$\单位$-类别。

本质上，我要问的是$\θ$同伦信度，在给定函子的意义上$F_1，\点，F_n，G_1，\dots，G_n:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$，地图

$$\prod_{i=1}^n\操作员姓名｛宏｝_{\operatorname{Fun}（\mathcal{C}，\mathcal{D}）}（F_i，G_i）\to\operator名称｛宏｝_{\operatorname{Fun}（\mathcal{C}^n，\mathcal{D}^n）}（\trod_i F_i，\prod_i G_i）$$

可以通过包含成分（即，内射$\pi_0美元$而且很夸张$\pi_i$对于美元\geq 1$).有人知道如何证明这一点吗？提前谢谢。

切向备注

我在读索尔·格拉斯曼的论文时遇到了这个问题”的日卷积$\单位$-类别“在定义2.8之后，他似乎声称我们可以接受$\mathcal{X}$作为以下子类别$\operatorname{Fun}（\mathcal{C}^n，\mathcal{D}^n）$:

• 的对象$\mathcal{X}$物体是否位于$\θ$.
• 的形态$\mathcal{X}$是函子本质形象中的那些$\operatorname{Fun}（[1]，\operator name{Fun}（\mathcal{C}，\mathcal{D}$.

不幸的是，这似乎并不奏效。（例如，我们可以$\mathcal{C}$作为包含至少两个对象的任何离散类别的神经，以及$\mathcal｛D｝$作为包含具有非平凡自同构对象的任何类别的神经；在这种情况下，我们可以检查一下$\theta:\operatorname{Fun}（\mathcal{C}，\mathcali{D}）^n\to\mathcal{X}$未满。）

Answer 1

请注意$Fun（C^n，D^n）=乐趣（C^n，D）^n$，所以第二个映射空间也是映射空间的产物。

在大多数情况下（即，除非其中一个术语为空），映射的乘积是组件的包含，当且仅当每个术语都为空时。特别是，您的问题通常等价于（或更准确地说，以下是一个“基本必要”的充分条件，尽管不是完全必要的）每个$\pi_i^*：趣味（C，D）到趣味（C^n，D）$是一个子类别包含，即$\pi_i:C^n\到C$作为一个满态（如果我们让D美元$任意）。

反过来，如果加元$非空，这相当于映射$C^{n-1}\到*$是一个满态。以下是一个基本引理：

引理:$E\至*$是满射当且仅当$|E|\到*$是，如果且仅$\西格玛|E|\simeq*$.

特别是，以下是获得肯定答案的具体可检查标准：

推论：如果$|C|\simeq美元*$，然后$Fun（C，D）^n\到Fun（C^n，D^n）$是一个忠实的类别包含。

证据（以及该答案的第二段）也表明“$\西格玛|C|\simeq*$“离必要条件不远。

它还提出了一些反例。例如：

例子：让$C=X$成为一个空间/$\单位$-广群，和D美元=K（A，K）$对一些人来说$k\geq 1美元$和一些阿贝尔群美元$。比较图为，on$\pi_j美元$,$$H^{k-j}（X；A）^n到H^{kj}$$.

这没有理由成为所有人的同构$j\geq 2美元$（例如take$k\geq 3美元$).