关于集的交闭族的猜想

Question

让$\mathcal{F}$成为一个家庭n美元$有限集。在这个问题中，家庭可以被视为一个多集合，因为允许包含同一集合的多个实例.让$U（\mathcal{F}）$是宇宙，即所有集合的联合$\mathcal{F}$.让$q=|U（\mathcal{F}）|$是元素的数量。

我们要求这样做，因为$m\ge 2美元$:

1. $\mathcal{F}$交叉闭合；
2. 中的每个元素$U（\mathcal{F}）$至少出现在美元\lceil（n-1）/2\rceil$套$\mathcal{F}$（每组以其多重性计算）；
3. 中至少存在一个集合$\mathcal{F}$大小为q-m美元$，但没有集的大小超过此值；
4. 每个可能的单例集都属于$\mathcal{F}$，即如果$a\单位为U（\mathcal{F}）$然后$\{a\}\in\mathcal{F}$.

鉴于上述要求，我们能否找到一个反例或对这个猜想说点什么：

存在$A\in\mathcal{F}$具有大小q-m美元$这样的话$U（\mathcal{F}）\set减去A$是至少$q-m+3$在中设置$\mathcal{F}$?

如果这个猜想是真的，那就意味着不存在另一个问题然而，我认为这里的假设较弱。