内存寿命增加如$e^{L^2}的概率2D细胞自动机$

Question

考虑一个上的2状态概率元胞自动机$L\倍L$具有全部-$0$以及所有-$1$配置为固定点，考虑类似于Toom规则或类似Ising的多数规则。考虑这样一个细胞自动机的扰动，其中所有的转移概率都被改变为一些小的$\epsilon美元$.随着时间的扰动而进化的元胞自动机$0$总的来说-$0$（全部-$1$)配置到时间$t（美元）$假设一次又一次运行未受干扰的细胞自动机时发生了逻辑错误$t（美元）$最终不会收敛到所有-$0$（全部-$1$)状态。

问题：有没有一些细胞自动机的上界已被证明$c_0 t（\frac｛\epsilon｝｛\epsilon_0｝）^｛（\frac｛L｝｛L_0｝）^2｝$逻辑故障的概率$\epsilon美元$-扰动？

我并不太在意我定义上述逻辑错误的方式。例如，也可以简单地使用全球多数票来决定是否发生了故障。或者可以查看单个站点并限制其在$0$状态($1$state）通过类似的方式$c1\epsilon+c0t（\frac{\epsilon}{\epsilon_0}）^{（\frac{L}{L_0}$或者，可以查看与扰动细胞自动机的一个时间步长相对应的全局随机矩阵，并断言两个最高幅值特征值之间的差距类似于$e^{-L^2}$。请随意回答您认为最自然的任何定义问题。

在Toom规则容错性的Gacs证明，缩放看起来像$e^{-L}$而不是$e^{-L^2}$.我认为Tooms的原始证据也是如此。（附加问题：有人知道如何访问Toom的英文原著《多元系统中的稳定和有吸引力的轨迹》吗？他的网站现在似乎已经关闭了。）我相信这可能是因为在有限圆环上非简单连接配置不会收敛到所有-$0$或全部-$1$.生成的非隐式连接回路$1$的背景是$0$的唯一要求O（L）美元$局部故障。

直觉上，我希望$e^｛-L^2｝$缩放，因为从所有对象翻转-$0$致所有人-$1$意味着在时空中有一堵时域墙，这需要$O（L^2）$如果每个错误簇的大小在线性时间内固定，则为局部错误。因此，这样一个领域墙的概率如下$\epsilon^{L^2}$。另一方面，此类域墙的数量仅为$t（\frac{1}{\epsilon_0}）^{L^2}$有人同意或不同意这种直觉吗？数值实验对此有什么见解吗？

Answer 1

直觉上，我希望$e^{-L^2}$缩放，因为从所有对象翻转-$0$致所有人-$1$意味着在时空中有一堵时域墙，这需要$O（L^2）$如果每个错误簇的大小在线性时间内固定，则为局部错误。因此，这种域墙的概率如下$\epsilon^{L^2}$。另一方面，此类域墙的数量仅为$t（\frac{1}{\epsilon_0}）^{L^2}$有人同意或不同意这种直觉吗？

我想我确实不同意。

考虑一个确定性Toom-type CA规则，该规则具有这样的属性：一个状态下的细胞簇被另一个状态的细胞包围，不能在某个有限边界区域外扩展，并且必须收缩并最终消失，除非该边界区域包围圆环。

例如，对于Toom的原始规则，一个这样的边界区域由与簇中的单元共享一行或一列的所有单元组成。这意味着如果至少一整列和至少一整行晶格的所有状态都相同$a\在\{0，1\}中$，然后所有细胞最终会收敛到状态美元$根据（未受干扰的）规则。

特别需要注意的是，在$L\倍L$晶格只需要O（L）美元$状态变化，因此在扰动规则下发生的概率应该随着$e^{-L}$一旦发生这种翻转，整个晶格最终将翻转（至少在未受扰动的规则下）。

此外，我推测这实际上是双稳态CA规则的一个一般属性，如：在$L\倍L$格总是有O（L）美元$如果全部翻转到相同状态，将导致整个晶格翻转到该状态的细胞O（L）美元$时间步长。通常情况下，所需的全部工作是使结构以两个不同的方向缠绕在环形晶格上，以便结构外的剩余单元能够不围绕圆环连接。