The class of超实数（通常称为$否$)不完整：它包含间隙。一些人研究过超现实数字的“Dedekind完成”为了在它里面做极限和微积分。这个补全包含了它所有的间隙作为新的数字。以下是一些差距示例$开=\{否|\}$这是数字线末端的间隙，$\infty=\{\mathbb{N}|{x\在No:\forall y\在\mathbb{N}（x>y）}\}中$这是所有有限数和所有无限数之间的差距，$1/开=\{0|否^+\}$零和所有正数之间的差距$1/\infty=\{{x\在No中：所有y\在\mathbb{R}^+（x<y）}|\mathbb{R}^+\}中$这是所有无穷小和所有正实数之间的间隙。然而，这些新的“数字”并不构成字段，因为我们失去了关联性（例如$开+开=开$然后$（开+开）-开\neq开+（开-开）$).
从另一个角度来看，当研究组合博弈论（实际上，超现实数字是如何被发明的）时，人们可能会偶然发现“愚蠢的博弈”的概念。loopy游戏是一种游戏，其中一个玩家可以选择移动到当前位置，有效地跳过他们的回合。例如$A=\{A|B\}$这是一个愚蠢的游戏，因为它有自己的选择。这些愚蠢的游戏违背了根深蒂固的原则。如果我们拒绝基础公理，超现实数字理论中也可以包含Loopy游戏。然而，就像这些间隙一样，使用它们进行计算也很奇怪。例如，如果我们$上=\{上|\}$（这是一个非常大的游戏，比所有超现实数字都大）$on+1=on$但是，我们可以通过牺牲具有加性反转（看起来是乘法反转）的能力来保持结合性。例如$开-开$不一定相等$0$.
现在，在我看来，差距和愚蠢的游戏之间有着非常明确的联系，或者至少是一种对应关系。每个差距都可以通过一个愚蠢的游戏来识别。显而易见的例子是$开=\{否|\}$和$上=\{上|\}$它们都比所有超现实数字都大，并且都有相似的算法。另一个例子：$\infty=\{\mathbb{N}|{x\在No:\forall y\在\mathbb{N}（x>y）}\}中$可以用这个恶作剧来识别$\infty=\｛\mathbb｛N｝|\infty\｝$它们都大于所有有限数，但小于所有无限数。而且$1/开=\{0|否^+\}$可以用这个恶作剧来识别$over=\{0|over\}$它们都比任何积极的超现实主义都要小。
我还注意到，通过允许用于定义间隙的适当类成为（不一致）集，我们可以有效地实现这一点。例如，差距$开$使用所有超现实数字的适当类别。如果这是一个集合，它将包含$开$因为它的左类和右类现在都是集合，所以它是一个超现实的数字。因此$开$将成为其左集合的一个元素（从而成为一个循环数），并且，由于它显然是该集合中最大的数字，它将使其等于$\{在|\}$，与$上=\{上|\}$我们以前见过。其他间隙也会发生同样的情况。作为另一个示例$\infty（美元）$是一个合适的班级。使其成为一组原因$\infty（美元）$成为一个超现实的数字，因为它比所有有限的数字都大，所以它是一个自己的正确集合的元素！再一次，因为它是集合中最小的元素，所以它等于$\｛\mathbb｛N｝|\infty\｝$.
我认为这一切的工作原理是，空白部分定位于缺少数字的位置，相应的循环数字“填补空白”。您无法创建更多的数字，因为任何尝试都会导致已创建的数字。例如，尝试查找介于超过$$和$0$通过采取$\{0|over\}$你只需回到超过$$因此，与空白不同，在空白处，对生成更多数字的限制是人为的和公理化的（因为根据定义，我们不可能让一个合适的类成为另一个类的成员），循环游戏确实填补了所有空白，并确保没有剩余的数字。在超现实数字的类别中包含循环数字，可以得到一个“绝对连续”的集合，类似于德德金完成超现实汇总的集合。为什么Dedekind的完成比这更受欢迎，有人知道对此进行过任何研究吗？适当的等级/差距是否有更深层的原因$\如果$没有根据的集合/循环游戏对应？
