关于虚二次数域中Größencharaktere的问题

Question

假设有人可以为任意数字字段中的Größencharakter提出这个问题，但我将把注意力限制在我感兴趣的案例上千美元$是具有整数环的虚二次域$\mathcal美元{O} K（_K）$然后让$\mathfrak{f}$是的非零理想$\mathcal美元{O} K（_K）$.让美元\chi$是乘法群上的字符$（\数学{O} K（_K）/\mathfrak（f}）^\次$然后让美元\lambda$是无穷阶Größencharaktere的生成器千美元$国防部$\mathfrak{f}$.关于主要理想$（\alpha）$,美元\lambda$具有以下属性$$\λ^m（（\alpha））=\左（\frac{\alpha}{|\alpha|}\right）^{mg}，$$哪里$克$是单位数$\varepsilon\in\mathcal{O} 确定（_K）$具有$\varepsilon\equiv 1\（\text{mod}\\mathfrak{f}）$.英寸科尔曼-二元二次型素数点的分布，作者感兴趣的是百万美元$，在“字符集合”中美元\chi$使得$\lambda^m\chi美元$只是理想的函数。“因此，我的问题是，

问题：什么条件确保$\lambda^m\chi美元$只是理想的函数吗？此外，这足以确保这些条件适用于主要理想吗（在这种情况下，这似乎是关于单位行为的问题）？

Größencharaktere是一个我似乎永远无法完全了解的主题，所以任何帮助都是非常感激的。

Answer 1

让P美元$是主分数理想组$（\alpha）$哪里$\alpha\K^\次$然后让$I美元$是中所有分数理想的组千美元$我不打算看你引用的论文，但我会假设“仅理想函数”是一种笨拙的说法，即“乘法函数1美元$“。我假设所有这些乘法函数都取单位圆中的值。

为了使开始于$K^\次$是群上定义明确的乘法函数P美元$，我们需要在$\mathcal O_K（_K）$因为我们需要每个$\alpha美元$和$\字母{u}$所有单位均相等$u（美元）$，这与所有单位上的值必须为$1$.何时千美元$是虚二次型$\mathcal O_K（_K）$是$\pm 1美元$除非$K=\mathbf Q（i）$或$K=\mathbf Q（\zeta_3）$.

在上有乘法函数后P美元$，如何将其扩展为上的乘法函数1美元$? 由于理想阶级群体的有限性，P美元$在中具有有限索引1美元$:$[I:P]=|I/P|$是理想班级的规模千美元$，通常表示$小时（K）$。上的每个乘法函数P美元$在中延伸美元[I:P]$上的乘法函数的方法$I美元$：见定理3.4和备注3.8在这里.