差值为正方形的正方形

Question

编辑。我已经只是注意到右侧“相关”栏中有一个2011年的帖子(点击我)，其中讨论的是一个密切相关的问题（主要区别似乎是，在下面的问题2中，我只要求存在一个上限）。

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2004年盖伊第三版软封面重印中问题D18的一个子问题数论中尚未解决的问题询问是否有四个正方形，它们的绝对值之差成对是正方形（参见书中第278页，子问题的标题是“四个差为正方形的正方形”）。盖伊评论道：“虽然不太可能有解决方案，但似乎没有任何一致条件禁止它。”我有两个（主要）问题：

（第一季度）问题的状态如何？有没有实质性的2004年以来的进展？

（问题2）整数的存在性如何$N\ge 4美元$使得没有N美元$-元组$（a_1，\ldot，a_N）$阳性的具有以下属性的整数$|a_i^2-a_j^2|$是一个正方形$i，j=1，\ldots，N$? 更准确地说$N=5$?

这个问题是由Sergey Goryainov提出的图论问题引发的。我主要是寻找推荐人。