这是一个很好的问题。让我从限制开始，稍后再讨论宽松限制。给定D美元$-形状图$X美元$模型类别（其中D美元$是一个小范畴），人们可以问计算同伦极限的两种方法（Barwick vs Bergner）是否一致。正如伯格纳在第7页指出的，严格来说，这两种方法并不一致（巴维克的输出是正确的半模型类别，而伯格纳的输出是模型类别的特定子类别），但一旦你达到$\infty（美元）$-类别。下面是关于这个的更多信息。接下来，您可以询问$\infty（美元）$-同伦极限的范畴$X美元$与同伦极限一致（在$\infty（美元）$-范畴意义）的图表$\infty（美元）$-首先替换中每个模型类别的类别X美元$及其基础$\infty（美元）$-类别，然后取该图的同伦极限。答案是，他们确实同意。
首先，让我们修复一些术语，这些术语是我们比较不同模型所需要的。在拟范畴模型中，可以用几种等价的方法计算拟范畴图的同伦极限：使用Joyal模型结构，使用加权极限，使用标记单形集上的模型结构，或使用伪全息极限锥和$\infty（美元）$-宇宙主义者。另请参阅这些笔记艾米丽·里尔（Emily Riehl）。在单纯形范畴模型或完备Segal空间模型中，可以再次使用相应的模型范畴计算同伦极限，也可以通过将所有内容推送到类似于拟范畴的等效模型中来计算同伦限，或者可以在不参考模型类别的情况下在内部这样做，如OP中链接的论文中的伯格纳定理2.5所述。
现在，您引用的Bergner的论文明确地比较了模型范畴的同伦极限和完备Segal空间的同伦限（第5节）。它们是等价的。此外，完全Segal空间的模型范畴是Quillen等价于单纯范畴的模型范畴（参见Bergner论文中的定理2.4），并且Quillen等价于上的Joyal模型结构$s集$对准范畴进行编码（参见HTT第1章）。现在，同伦共线的全部要点是，如果你用弱等价图替换你的图，那么同伦共点是相同的，直到弱等价。如果你有两个普通类别C美元$和$C'（美元）$以及类别的等价性$F:C\到C'$，一个图表$J:D\到C$，然后您在中创建了相应的图表$C'（美元）$，情况会是$F（\lim D）\cong\lim F（D）$。在$\infty（美元）$-类别，多亏了通用属性。
巴威克的论文怎么样？好吧，Bergner也指出（在她的论文第7页），她计算模型范畴图的同构极限的方法与他的方法一致，在$\infty（美元）$-类别。Barwick的方法涉及到正确的Bousfield本地化，可能会输出半模型结构。伯格纳的方法涉及到限制到松弛极限的一个子范畴。但这两种达到同伦极限的方法在$\infty（美元）$-类别，例如，因为可以在正确的Bousfield本地化之前轻松替换所有内容，而不改变底层$\infty（美元）$-类别。因此，对于同伦极限，所有计算方法都是一致的。
好吧，那么宽松的限制又如何呢？再一次，让我们X美元$成为D美元$-模型类别的形状图，带一个$M_阿尔法$对于每个D中的$\alpha\$和左Quillen函子$F{α，β}^θ：M_α到M_β$对于每个$\theta:\alpha\to\beta$在里面D美元$，加上明显的兼容性。可以等价地使用右奎伦函子，因为每个左奎伦函子都有一个右伴随。Bergner和Barwick计算松弛极限的方法（作为模型类别）是一致的。伯格纳论文第5页的定义3.1表示宽松限制为$L_D X$。对象是一个成对的族$（xα，uα，β}β}θ}）$哪里M_{alpha}中的$x_\alpha$和$u{α，β}^θ：F{α$是中的同态$M_β$.形态是水平的。巴威克的宽松限制是$第^R X节$根据他的定义2.21。对象是成对的族$（x_\alpha，\phi_f）$又在哪里M_alpha中的$x_\alpha$和$\phi_f:x_\alpha\到f^*x_\beta$哪里$f:\beta\to\alpha$唯一的区别是我们使用的是伴随形式，将右奎伦函子（F_{\alpha，\beta}^\theta的右伴随）优先于左奎伦函子。巴维克的评论2.22说明了与伯格纳宽松限制风格的等价性。Bergner的第6节表明$\infty（美元）$-不严格限制下的类别X美元$相当于$\infty（美元）$-图的范畴松弛极限$\infty（美元）$-基本类别X美元$此外，范畴理论中的松弛极限在范畴等价的情况下得到了保留，类似地$\infty（美元）$-将模型更改为$\infty（美元）$-范畴（例如，在拟范畴和完备Segal空间之间）。
现在，Horev和Yanovski（HY）引用的论文中的注释4.4指出，他们关于图的松弛极限的概念$\infty（美元）$-类别（通过coCartesian fibrations）与Gepner、Haugseng和Nikolaus（GHN；定义是通过扭曲箭头类别，但引言阐明了与Grothendieck构造和coCartesia fibrations的联系）的定义一致。剩下的就是比较$\infty（美元）$-分类松弛极限与模型分类松弛极限。让我们使用HY论文的定义4.1：图的松弛极限$\infty（美元）$-类别定义为$\infty（美元）$-相应的余笛卡尔纤维的截面类别。这可以被认为是$\infty（美元）$-巴维克定理2.28（或等效地，伯格纳定理2.28）中模型结构的基本范畴$L_D X$). 因此，这两种方法是一致的！这就是你提到的Barwick在他的备注2.24中所表达的意思。论文中明确进行了比较模型类别的宽松限制由约纳坦·哈帕兹（Yonatan Harpaz）提出，使用他和普拉斯马（Prasma）就格罗森迪克（Grothendieck）结构在模型范畴语境中得出的理论。
当你更多地思考宽松限制时，我鼓励你仔细研究GHN论文的导言，它很好地总结了思考宽松限制的等效方法。回顾GHN引用的经典范畴理论中的文献也很有帮助。特别是，我鼓励您写出与以下图表相关的格罗森迪克构造($\infty（美元）$-)类别，并查看为什么分段法与加权极限法一致。
