张一堂最新声称的Landau-Siegel零点结果的后果

Question

最近，张一堂（Yitang Zhang）刚刚给出了一个（虚拟）谈话关于他11月5日上午在中国山东大学研究Landau-Siegel零点的工作。他还将于11月8日在北京大学发表演讲。

111页预印本现在可以在互联网上找到，而且这个版本似乎很快就会在arXiv上发布。（更新：现在arXiv上.)

本文表明，对于真正的原始字符美元\chi$模量D美元$,$$L（1，\chi）>c_{1}（\log D）^{-2022}$$哪里$c_{1}>0$是一个可有效计算的绝对常量。

假设这个结果是正确的，那么接下来会有哪些重要的数字理论后果？

例如，PNT误差估计、算术级数和其他相关问题会受到什么影响？

Answer 1

它对算术级数的PNT误差项具有重要意义。

PNT与Siegel-Walfisz定理

让美元\psi（x；q，a）$是以下各项的总和美元\Lambda（n）$结束$n\le x个$和$n\equiv a \pmod q美元$然后PNT声明，对于固定q美元$有

$$\psi（x；q，a）\sim{x\over\varphi（q）}。\标签1$$

什么时候？q美元$不固定，Page（1935）证明了以下一般结果：

定理1（第页）： 存在一些绝对有效的$c_0>0$这样所有人$（a，q）=1$:

$$\psi（x；q，a）={x\over\varphi（q）}-\color{blue}{{chi（a）x^\beta}\over\valphi（g）\beta{+O\{xe^{-c0\sqrt{\logx}}}，\tag2$$

哪里美元\chi$表示异常字符和$\测试版$表示Siegel零点。如果模块中没有异常字符，蓝色术语将被删除q美元$.

为了统一误差项，我们需要根据Siegel（1935）得出的结果：

定理2（Siegel）： 对于所有人$\varepsilon>0$存在一些$A_\varepsilon>0$使得$1-\beta>A_\varepsilon q^{-\varepsilon}$.

将这个结果代入（2）的蓝色项中，我们得到

$$x^\beta\ll x e^{-A_\varepsilon q^{-\varepsilon}\log x}。$$

如果$q\le（\log x）^{2/\varepsilon}$，然后右侧变为$\ll xe^{-A_\varepsilon\sqrt{\log x}}$将此与（2）结合，我们得到了Walfisz（1936）的结果：

定理3（Siegel-Walfisz）： 对于任何$M>0$存在一些C_M美元$这样所有人$q\le（\log x）^M$和$（a，q）=1$有

$$\psi（x；q，a）={x\over\varphi（q）}+O\{e^{-C_M\sqrt{log x}}}，\tag3$$

其中O常量是绝对的。

由于西格尔定理证明中的缺陷，$A_\varepsilon（美元）$和C_M美元$无法有效计算。

张的改进

然而，如果使用Zhang的结果，我们可以显著地获得对Siegel-Walfisz定理的更强和有效的改进。那就是

定理4（Zhang）： 存在$A>0$并且有效$C_1>0$使得$L（1，\chi）>C_1（\log q）^{-A}$.

张证明了这一结果澳元=2022$，但出于一般性考虑，我选择不插入。

让$\测试版$是的最右边的实数零$L（s，\chi）$对于一些真正的美元\chi$模q美元$使得$1-\beta\gg（\log q）^{-1}$然后根据中值定理，存在一些$1-\贝塔<\西格玛<1$使得$1-\beta=L（1，\chi）/L’（\sigma，\ chi）$.应用经典界$L'（\sigma，\chi）=O（\log^2q）$张的结果给了我们零自由区

$$1-\beta>C_2（\log q）^{-A-2}，$$

哪里$C_2>0$是可有效计算的，这表明（2）中的蓝色项主要由

$$x^\beta\ll xe^{-C_2（\log x）（\logq）^{-A-2}}。$$

如果$（\log q）^｛A+2｝\le\sqrt｛\log x｝$，然后右侧变为$\ll xe^{-C_2\sqrt{\log x}}$，这使得定理1得到了显著改进：

定理5： 让美元$如定理4所示。存在一些绝对$c_0>0$这样所有人$q\le e ^{（\log x）^{1/（2A+4）}}$和$（a，q）=1$，我们有

$$\psi（x；q，a）={x\over\varphi（q）}+O\{e^{-c0\sqrt{logx}}}。\标签4$$

渐近公式对所有人都有效$q\ge1美元$.

虽然定理5比定理3强得多，但很难将其与没有蓝色项的定理1进行比较，因此本节专门推导对所有人都有效的渐近公式$q\ge1美元$和$（a，q）=1$以便进行更好的比较。

自$\Lambda（n）\le\log n$，我们很清楚

$$\psi（x；q，a）\le\sum_{substack{n\lex\\等于a（q）}}\logx\ll{x\logx\ over q}。$$

结合这一点和（3），我们可以看到定理3表明

$$\psi（x；q，a）={x\over\varphi（q）}+O_N\{x（\log x）^{-N}\}\quad（N>0）。\标签5$$

如果平凡上界与（4）并列，那么我们可以看到存在一些绝对有效的$c_0>0$使得

$$\psi（x；q，a）={x\over\varphi（q）}+O\{xe^{-c_0（\log x）^{1/（2A+4）}}}，$$

其具有比（5）更好的误差项。

Answer 2

如果正确的话，张的结果会有很多重要的后果。一个具体的结果是，它将把高斯和欧拉时代最后一个公开的问题之一简化为有限的计算量，即每属一类的二元二次型判别式的分类。素数的同余类美元$模d美元$确定哪种形式的判别式$-d<0$代表美元$当且仅当每个属有一个类时。

这些判别式与$0$模$4$是欧拉的吗数字idonei或idoneal数。欧拉预计会有无限多这样的判别式。[编辑：显然我记错了。请参阅以下KConrad的备注。]正是高斯推测，只有欧拉已知的65个例子（不一定是基本的）才是这样的判别法。还有65个已知的基本判别式（不一定是偶数），每个属只有一个类别。第66位的存在仍然是一个悬而未决的问题。根据亏格理论，我们知道对于每个亏格只有一个类的判别式，类组满足$$C（-d）\cong\左（\mathbb Z/2\右）^{g-1}，$$哪里$克$是的素数除数d美元$.显然d美元$大于最小基本判别式的绝对值$克$素除数，$$d_g\覆盖{\text{def.}}=3\cdot4\cdot5\cdot7\cdotsp_g。$$从大小的下限$p_g$，的$克$-第th个素数，以及$\theta（x）=\sum_{p\leqx}\log（p）$，可以证明$$d_g>g^g。$$自$2^{g-1}\ll\sqrt{g^g}，$类数的下界（我们期望为真）排除了大类中每属一类的可能性$克$.

1973年，彼得·温伯格（Peter Weinberger）表明，在GRH中，没有基本的区别$-d<-5460$每个属有一个类，并且无条件地最多只能有一个这样的类$d美元$.

相反，Oestele明确指出，Goldfeld-Gross-Zagier的下限不够强，无法完成每属一类的判别式分类：$\对数（g^g）$是$\ll 2^{g-1}$.Iwaniec和Kowalski观察到，即使Birch Swinnerton Dyer猜想的全部力量，“当前技术允许我们期望的最佳有效下限”也不够，因为$\log（g^g）^r$是$\ll 2^{g-1}$对于任何美元$事实上，前景更为黯淡：沃特金斯观察到，如果歧视$-d美元$可被所有素数整除$（\log\log d）^3$（作为$d_g美元$当然是），素数的乘积除d美元$在Goldfeld-Gross-Zagier中，下界非常小，导致的下界比平凡的下界更糟糕。

如果将隐含常数显式化，张的结果将消除超过某个界限的判别式每属一类的可能性。例如，忽略常数，下界是具有6007个以上素除数的判别式。这是为了$d>3\cdot 10^{25734}$.