它对算术级数的PNT误差项具有重要意义。
PNT与Siegel-Walfisz定理
让美元\psi(x;q,a)$是以下各项的总和美元\Lambda(n)$结束$n\le x个$和$n\equiv a \pmod q美元$然后PNT声明,对于固定q美元$有
$$\psi(x;q,a)\sim{x\over\varphi(q)}。\标签1$$
什么时候?q美元$不固定,Page(1935)证明了以下一般结果:
定理1(第页): 存在一些绝对有效的$c_0>0$这样所有人$(a,q)=1$:
$$\psi(x;q,a)={x\over\varphi(q)}-\color{blue}{{chi(a)x^\beta}\over\valphi(g)\beta{+O\{xe^{-c0\sqrt{\logx}}},\tag2$$
哪里美元\chi$表示异常字符和$\测试版$表示Siegel零点。如果模块中没有异常字符,蓝色术语将被删除q美元$.
为了统一误差项,我们需要根据Siegel(1935)得出的结果:
定理2(Siegel): 对于所有人$\varepsilon>0$存在一些$A_\varepsilon>0$这样的话$1-\beta>A_\varepsilon q^{-\varepsilon}$.
将这个结果代入(2)的蓝色项中,我们得到
$$x^\beta\ll x e^{-A_\varepsilon q^{-\varepsilon}\log x}。$$
如果$q\le(\log x)^{2/\varepsilon}$,然后右侧变为$\ll xe^{-A_\varepsilon\sqrt{\log x}}$将此与(2)结合,我们得到了Walfisz(1936)的结果:
定理3(Siegel-Walfisz): 对于任何$M>0$存在一些C_M美元$这样所有人$q\le(\log x)^M$和$(a,q)=1$有
$$\psi(x;q,a)={x\over\varphi(q)}+O\{e^{-C_M\sqrt{log x}}},\tag3$$
其中O常量是绝对的。
由于西格尔定理证明中的缺陷,$A_\varepsilon$和C_M美元$无法有效计算。
张的改进
然而,如果使用Zhang的结果,我们可以显著地改进Siegel-Walfisz定理。那就是
定理4(Zhang): 存在$A>0$并且有效$C_1>0$这样的话$L(1,\chi)>C_1(\log q)^{-A}$.
张证明了这一结果澳元=2022$,但为了通用起见,我选择不插入。
让$\测试版$是的最右边的实数零$L(s,\chi)$对于一些真正的美元\chi$模q美元$这样的话$1-\beta\gg(\log q)^{-1}$然后根据中值定理,存在一些$1-\贝塔<\西格玛<1$这样的话$1-\beta=L(1,\chi)/L’(\sigma,\ chi)$.应用经典界$L'(\sigma,\chi)=O(\log^2q)$张的结果给出了零自由区
$$1-\beta>C_2(\log q)^{-A-2},$$
哪里$C_2>0$是可有效计算的,这表明(2)中的蓝色项主要由
$$x^\beta\ll xe^{-C_2(\log x)(\logq)^{-A-2}}。$$
如果$(\log q)^{A+2}\le\sqrt{\log x}$,然后右侧变为$\ll xe^{-C_2\sqrt{\log x}}$,这使得定理1得到了显著改进:
定理5: 让美元$如定理4所示。存在一些绝对$c_0>0$这样所有人$q\le e ^{(\log x)^{1/(2A+4)}}$和$(a,q)=1$,我们有
$$\psi(x;q,a)={x\over\varphi(q)}+O\{e^{-c0\sqrt{logx}}}。\标签4$$
渐近公式对所有人都有效$q\ge1美元$.
虽然定理5比定理3强得多,但很难将其与没有蓝色项的定理1进行比较,因此本节专门推导对所有人都有效的渐近公式$q\ge1美元$和$(a,q)=1$以便进行更好的比较。
自$\Lambda(n)\le\log n$,我们很清楚
$$\psi(x;q,a)\le\sum_{substack{n\lex\\等于a(q)}}\logx\ll{x\logx\ over q}。$$
结合这一点和(3),我们可以看到定理3表明
$$\psi(x;q,a)={x\over\varphi(q)}+O_N\{x(\log x)^{-N}\}\quad(N>0)。\标签5$$
如果平凡上界与(4)并列,那么我们可以看到存在一些绝对有效的$c_0>0$这样的话
$$\psi(x;q,a)={x\over\varphi(q)}+O\{xe^{-c_0(\log x)^{1/(2A+4)}}},$$
其具有比(5)更好的误差项。