奇异复空间的Bott-Cern上同调

Question

我正在读《卡勒-瑞奇流导论》（数学2086讲义）。他们讨论了复杂空间上的Bott-Cern上同调：

让X美元$是一个具有正规奇异性的复空间（即解析簇）。

引理4.6.1。上的任何多谐分布X美元$是全纯函数的局部实部，即$dd^c美元$捆上的操作员$\mathcal D'_X$分布的芽与层重合$\mathfrak R\mathcal O_X$全形细菌的真实部分。

定义4.6.2。局部电位为X美元$定义为商层的一部分$\mathcal C^\infty_X/\mathfrak R\ mathcal O_X$（分别为。$\mathcal D'_X/\mathfrak R\mathcar O_X$). 我们还引入了Bott-Chern上同调空间H美元^{1,1}_{BC}（X）：=H^1（X，\mathfrak R\mathcal O_X）$.

我的问题是：

1. 这个引理在我看来很可疑。它暗示如果$dd^cf=0$对于平滑函数$f美元$，然后$f=Re（h）$对于某些全纯函数$小时$所以，$f美元$必须是实函数吗？至少$如果$也满足不真实的条件。

2. 他们说，具有局部势的（1，1）-形式可以描述为封闭的$(1,1)$-形式$\θ$在X美元$这是表单的局部$\theta=dd^cu$对于平滑函数$u（美元）$.我不想证明这一点。首先，我需要使用简短的精确序列$$0\rightarrow\mathfrak R\mathcal O_X\rightarrow\mathcal A^0_X\right arrow\ mathcal A_X^0/\mathbrak R\Mathcall O_X\rightarrow 0$$但我不清楚第一张地图是什么？

3. 他们提到$(1,1)$-形式和电流X美元$本地不需要$dd^c美元$-大体上是准确的。但据我所知（我可能错了），当X美元$是一个歧管。当X美元$是单数吗？

Answer 1

X上的闭合（1,1）形式和电流本地不需要$dd^c美元$-大体上是准确的当X是单数时，有什么不同？

对当地的阻碍$dd^c美元$-引理是$R^1\pi_*（O_{X'}）$，其中$\pi:\；X’至X$是的分辨率奇点。什么时候？X美元$是平滑的（更一般地说，当有有理奇点），这个层是微不足道，但如果奇点不好（比如，什么时候X美元$圆锥体在曲线上吗大属），本地$dd^c美元$-引理可能失败。

这意味着如果$dd^cf=0$对于平滑函数$f美元$，然后$f=Re（h）$对于某些全纯函数$小时$所以，$f美元$必须是实际功能？

这通常是假设的。如果$f美元$很复杂，它的实部和虚部都是实部（先验的，不同的）全纯的部分功能。