让X美元$是一个有限集。我现在有一个最受欢迎的结构符号同态的$Sym（X）\到C_2$。但也许它不应该是我最喜欢的建筑。
经过与专家的讨论，我了解到，只有在以下情况下，Poonen的构建才能发挥建设性作用X美元$假设为基数有限的在以下意义上。我参考nlab页面了解有限对象:
定义：让X美元$成为地形的对象。这么说吧X美元$是一个有限基数如果它是$\mathbb N美元$、和基数有限的如果它配备了有限基数的双射。（这是nlab页面上“外部版本”下的定义。）
原因是Poonen的构造涉及到挑选索引-2子群$G<C_2^{\binom{X}{2}}$由定义$G={（x_e）_{e\in\binom{x}{2}}\mid\sum_e x_e=0\}$.在这里$\binom{X}{2}$是的2元素子集集X美元$关键是为了求和$\binom{X}{2}$，它需要是一个基数有限集，这反过来基本上意味着X美元$它本身应该是基数有限的。
安德鲁·斯旺（Andrew Swan）向我指出，这里有一个例子表明，这可能不是最佳的普遍性。让G美元$是一个离散群，让$\mathcal E公司$成为…的地形G美元$-套。然后是基数有限对象X美元$在里面$\mathcal E公司$是一个带有平凡的有限集G美元$-行动。在这种情况下，$Sym（X）$上的常见对称群X美元$，再次装备了琐碎G美元$-行动。事实上，符号置换$Sym（X）\到C_2$定义明确(C_2美元$是通常的组G美元$-动作）。但更一般地说，如果X美元$是任何具有（可能是非平凡的）的有限集G美元$-动作，尽管G美元$-上的操作$Sym（X）$通常是不平凡的，通过$（g\cdotf）（x）=g\cdot（f（g^{-1}\cdotx））$，从这个公式可以清楚地看出$g\单位：g$通过即使置换$Sym（X）$，因此符号排列$Sym（X）\到C_2$仍然定义明确！这样一个物体X美元$是局部基数有限在以下意义上：
定义：让X美元$成为拓扑的对象。这么说吧X美元$是局部基数有限如果它在回调到一些支持良好的切片拓扑之后变得基数有限。（这是上述nlab页面上的定义2.1）。
这表明以下问题的答案可能是对尽管我不知道证据：
问题1：让X美元$是拓扑的局部基数有限对象$\mathcal E公司$。然后执行内部组对象组（mathcal E）中的$Sym（X）$承认一个非平凡的“符号”同态$Sym（X）\到C_2$在里面$Grp（\mathcal E）$?
我相信局部基数有限性的定义等价于$\mathcal E公司$只存在一个来自X美元$到一个有限的基数。所以我认为下面这个问题的答案是无需多说的：
问题2：在建设性元理论中工作。让X美元$是存在双射的集合X美元$到一个有限的基数。那么是否存在一个非平凡的“符号”同态$Sym（X）\到C_2$?
问题3：也许我还没有确定正确的“有限”对象类别，以便符号能够建设性地存在。对于“符号”同态有明确定义的基数有限性，是否还有其他比基数有限性更普遍的“有限性”的建设性概念？
