非物理测量的SRB测量示例

Question

让$f:M\至M$成为$C^{1}$具有归一化黎曼体的紧致黎曼流形上的微分同胚$\mathrm｛Leb｝$。给定$f美元$-不变Borel概率$\亩$在里面百万美元$，我们称之为吸引盆地$\亩$成套设备$B（\mu）$的点$x\单位：百万$这样狄拉克的平均值沿x美元$汇聚到$\亩$在弱*意义上：$$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}\varphi\left（f^{j}（x）\right）=\int\varphi d\mu$$对于任何连续$\varphi:M\rightarrow\mathbb{R}$.然后我们说$\亩$是一个物理测量对于$f美元$如果吸引力的盆地$B（\mu）$勒贝格测量值为正百万美元$.

一种特殊类型的物理测量是所谓的西奈-鲁尔-鲍文，或SRB，具有非零Lyapunov指数性质的测度$\亩$-几乎处处都允许一个条件测度系统，使得不稳定流形上的条件测度相对于Lebesgue测度是绝对连续的$\mathrm{Leb}$由黎曼结构的限制所诱导的流形。

遍历SRB度量是物理的。图形光吸引子有具有正李亚普诺夫指数的物理测度，该指数不是SRB措施。我想知道是否有一个非物理SRB度量的示例。

Answer 1

你可以拿一张Anosov地图$T^2美元$并乘以圆上的恒等式。然后，您将在$T^2\次pt$它们不是物理的。