Fpqc-局部常数当且仅当étale-局部常数？

Question

也在中东南方.

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让$\mathcal{F}$被滑轮压住$S_\mathrm{fpqc}$.我们说$\mathcal{F}$如果存在fpqc覆盖，则为（有限生成阿贝尔群的）fpqc局部常数层$（S_i\到S）_{i\在i}中$科学技术。$\mathcal{F}|_{S_i}$是一个常数层（与有限生成的阿贝尔群相关）。

显然，如果$\mathcal{F}$那么étale-局部常数$\mathcal{F}$当每个故事覆盖都是一个fpqc覆盖时，fpqc局部不变吗标签022C相反的是真的吗？

我认为相反的情况是正确的，因为乘法型上的有限型群方案（与有限生成阿贝尔群相关联的常数群方案的fpqc-局部对偶）可以用有限的étale surpjective映射来简化（强于étale-coverting的平凡化）。

我认为应该有一个直接的证据来证明“fpqc-局部常数层可以被一个étale覆盖甚至有限étale-surpjective映射简化”，而不必提及群方案。另外，我不确定要求相关常数集是有限生成阿贝尔群的条件是否必要。

Answer 1

答案是肯定的，但对于一些轻微的变化，它是失败的，所以让我首先讨论一个集合滑轮的模拟。在这种情况下，这与我的纸张与Bhatt合作；这一基本群体将$\mathcal F美元$.

首先，我声称任何一捆$\mathcal F美元$也就是说fpqc局部常数可以用一个方案表示$T\到S$它是分离的和可分离的（并且满足适当性的评估标准）。为了看到这一点，我们使用分离的etale映射沿着基座的fpqc覆盖下降，请参见标记0APK对于ind-拟仿射态射（分隔etale映射的是）的下降，明确了被分隔和是etale的性质（以及正确性的评价标准）下降。因此，在本地显示索赔fpqc就足够了美元$，但随后T美元$只是一个不相交的联盟美元$.

旁白：事实证明，对于普通人来说美元$，对$\mathcal F美元$这是fpqc局部常数。通过以上，所有这些都可以通过分离的方案和etale来表示美元$，满足适当性的评价标准。如果美元$局部具有有限个不可约分量，反之亦然，参见引理7.3.9和备注7.3.11在这里一般来说，可能会发生以下情况：$\mathcal F美元$就是这样不fpqc在本地微不足道，但对于它$\mathcal F\sqcup\mathbb Z$ 是fpqc局部平凡，参见loc.cit中的示例7.3.12。

此外，这样的$\mathcal F美元$不必是局部平凡的etale，如我们在那里讨论的一些示例（例如更高属的节点曲线）。但是如果纤维是有限的，那么$\mathcal F美元$通过参数化$\mathcal F美元$.

回到目前的问题，我们可以对任何有限生成的阿贝尔群百万美元$考虑一下sheaf$\mathcal G公司$之间的同构$\mathcal F美元$和百万美元$.Fpqc本地，美元$分解为一部分，其中该部分为空，另一部分为下的torsor$\mathrm{Aut}（M）$，其中$\mathrm{Aut}（M）$具有离散拓扑（如百万美元$是有限生成的）。这意味着$\mathcal G公司$fpqc是局部常数，因此可以用分离的etale表示美元$-方案T美元$，其图像是打开和关闭的。拉回至后T美元$，我们得到了一个同构$\数学F$和百万美元$.变化百万美元$，我们看到了$\mathcal F美元$是etale局部平凡的。

另一方面，如果有人放弃以下假设$\mathcal F美元$是本地的有限生成的阿贝尔群，则结果一般不再成立。

另一个警告：一般可对偶群方案在有限的，有限的金属盖。这仅适用于正常方案；它失败了，例如节点$\mathbb P^1$有趣的是，这相当于承认忠实的陈述，参见在这里.