这里有两个等价项。
定理1对于每个百万美元\geq 1$,以下是等效的。
a) 对于所有非平凡的Dirichlet字符$\chi\bmod百万$,$L(1,\chi)不=0$.
b) 对于所有人$a\in(\mathbf Z/m\mathbf-Z)^\次$,素数集$p\equiv一美元$具有Dirichlet密度$1/\varphi(百万)$.
定理证明1.我们将计算$\{p\equiv a\bmod m\}$没有假设(a),然后看看为什么(a)和(b)是等价的。平凡Dirichlet特征模百万美元$将写为1百万美元$.
对于每个Dirichlet字符$\chi\bmod百万$,$L(s,\chi)$对进行分析${\rm回复}>0$除了$L(s,{\mathbf 1}_m)$在美元=1$.设置$$n(chi):={\rm ord}_{s=1}(L(s,chi))$$所以$n({\mathbf 1}_m)=-1$和$(\chi)\geq 0$对于所有非平凡的美元\chi$.
对于${\rm Re}>1$和$(a,m)=1$,$$\sum{p\equiva\bmodm}\frac{1}{p^s}=\frac{1}{\varphi(m)}\sum{p}\sum{\chi}\frac{\chi(p)\overline{\chi{(a)}{p^s}=\frac{1}{\varphi(m)}\sum{\chi}\上划线{\chi{(a)\左(\sum{p}\frac{\chi(p)}{p^s}\右)$$其中右边的和覆盖了所有素数美元$和所有Dirichlet角色$\chi\bmod百万$.对于Dirichlet角色$\chi\bmod百万$和${\rm Re}>1$,$$\对数L(s,\chi)=\sum_p\frac{\chi(p)}{p^s}+\sum_{p,k\geq2}\frac}\chi,$$其中O美元$-常数为$\sum_{p,k\geq2}1/(kp^k)$,所以$$\sum{p\equiva\bmodm}\frac{1}{p^s}=\裂缝{1}{\varphi(m)}\sum_{\chi\bmod-m}\上横线{\chi}(a)\log L(s,\chi)+O(1)。$$
现在让我们按照消失的顺序$(\chi)$以上。对于%s美元$近的$1$,$L(s,chi)=(s-1)^{n(chi)}f_chi(s)$哪里$f_chi(s)$是以下邻域中的解析函数美元=1$和$f_chi(1)不=0$.因此$f_chi(s)$有一个解析对数美元=1$(定义明确,最多可将2美元\pi i$),所以对于美元>1$,$\log L(s,\chi)=n(\chi,\log(s-1)+\ell_{f_chi}$,哪里$\ell_{f\chi}(s)$是合适的对数$f_chi(s)$.因此$$ \log L(s,\chi)=n(\chi,\log(s-1)+O_chi(1)$$对于%s美元$近的$1$向右,并将其插入到上面显示的公式中,\开始{align}\sum{p\equiva\bmodm}\frac{1}{p^s}&=\frac{1}}{\varphi(m)}\sum{\chi\bmodm}\overline{\chi}(a)(n(chi)\log(s-1)+O\chi(1))+O(1)\nonumber\\&=\frac{1}{\varphi(m)}\left(\sum_{\chi}\overline(a)n(\chi)\right)\log(s-1)+O_m(1)。\结束{对齐}
要计算Dirichlet密度,我们想把双方分开$\sum_p 1/p^s$对于%s美元$近的$1$右边。对于这种情况%s美元$,$$\log\zeta(s)=\sum_p\frac{1}{p^s}+O(1)=-\log(s-1)+O(一)。$$因此$\sum_p 1/p^s\sim-\log(s-1)$作为$s\至1^+$,所以除以$\sum_p 1/p^s$并让$s\至1^+$给了我们\开始{方程式}\lim{s\到1^+}\裂缝{\sum_{p\equiva\bmodm}1/p^s}{\sum_p1/p^s}=\压裂{1}{\varphi(m)}\左(-\sum{\chi}\上横线{\chi}(a)n(\chi)\右),\结束{方程式}它表示的是$\{p\equiv a\bmod m\}$就消失顺序$(\chi)$作为美元\chi$运行Dirichlet字符mod百万美元$.
如果(a)为真,则$n(\chi)=0$对于所有非平凡的美元\chi$,因此上述极限计算的右侧是$(1/\varphi(m))(-n({\mathbf 1}_m))=1/\varpi(m$,即(b)。
相反,如果(b)为真,则$$\sum{chi}\上划线{chi}(a)n(chi)=-1$$对所有人来说$a\in(\mathbf Z/m\mathbf-Z)^\次$通过我们的极限计算。为什么这意味着$n(\chi)=0$对于非平凡美元\chi$?
使用由所有Dirichlet字符mod索引的复数向量百万美元$,让${\mathbf n}_m=(n(\chi))_\chi$和${\mathbf v}_a=(\chi(a))_\chi$对于每个$a\in(\mathbf Z/m\mathbf-Z)^\次$.所有复数向量的空间$\mathbf z=(z_\chi)_\ chi$有维$\varphi(百万)$它有赫尔米人的内在产物$\langle\mathbfz,\mathbf w\rangle=\frac{1}{\varphi(m)}\sum_{\chi}z_\chi\上划线{w_\chi}$其中向量${\mathbf v}_a$是Dirichlet字符mod的正交关系的正交基百万美元$.上面显示的公式说$\langle{\mathbfn}_m,{\matHBfv}_a\rangle=-1/\varphi(m)$对所有人来说美元$在里面$(\mathbf Z/m\ mathbf Z)^\次$,所以$${mathbfn}_m=\sum_{a}\langle{mathbf n}_m,{mathbf-v}_a\rangle{mathbv}_a=-\frac{1}{\varphi(m)}\sum_a}{\mathbfv}_a。$$对于每个非平凡的$\chi\bmod百万$,的美元\chi$-的组件$\sum_{a}{\mathbf v}_a$是$\sum_a\chi(a)$,这是$0$.所以美元\chi$-的组件${\mathbf n}_m$,这是$n(\chi)$,为0。这就是(a)。
QED定理1。(我在复制粘贴后才意识到,我之前已经复制粘贴了它,作为MO问题的答案在这里.)
定理2对于每个百万美元\geq 1$,以下是等效的。
a) 对于所有Dirichlet字符$\chi\bmod百万$,$L(s,\chi)不=0$什么时候${\rm Re}=1$.
b)$\sum_{n\leqx}\chi(n)\Lambda(n)=o(x)$对于非平凡的Dirichlet字符$\chi\bmod百万$和$\sum_{n\leqx}\chi_{{mathbf1}_m}(n)\Lambda(n)\sim x$,
c) 对于所有人$a\in(\mathbf Z/m\mathbf-Z)^\次$,$|\{p\leq x:p\equiv a\bmod m\}|\sim(1/\varphi(m))x/\log x$.
将下面定理2的证明与2734364041的答案中的草图进行比较,我们也将使用Tauberian定理(证明(b)隐含(c)),但我们不需要显式公式。
定理证明2.
我们将证明(a)等于(b),(b)等于(c)。
首先,我们显示(a)意味着(b)。设置$\psi_\chi(x)=\sum_{n\leqx}\chi$对所有人来说美元\chi$,所以(b) 说$\psi_\chi(x)=o(x)$对于非平凡美元\chi$和$\psi_{{\mathbf 1}_m}(x)\sim x$.
对于美元\西格玛>1$,$-L'(s,\chi)/L(s,\ chi)=\sum\chi(n)\Lambda(n)/n^s$,用于所有Dirichlet字符$\chi\bmod百万$,所以$\psi_\chi(x)$是系数的部分和$-L'(s,\chi)/L(s,\ chi)$.自$L(s,{\mathbf 1}_m)\n不=0$在美元\西格玛=1$通过(a),$-L'(s,{\mathbf 1}_m)/L$是全纯的美元\sigma\geq 1$除了在美元=1$剩余为1且具有非负Dirichlet级数系数$\psi_{{\mathbf 1}_m}(x)=O(x)$因此$\psi_{{\mathbf 1}_m}(x)\sim x$,这是(b)的一部分,根据纽曼的Tauberian定理。得到(b)的其余部分,即$\psi_\chi(x)=o(x)$对于非平凡美元\chi$,我们有$-L'(s,\chi)/L(s,\ chi)$全纯的美元\sigma\geq 1$by(a)及其Dirichlet级数系数满足$|\chi(n)\Lambda(n)|\leq{\mathbf 1}_m(n)\ Lambda$对所有人来说n美元$,所以$\psi_\chi(x)=o(x)$通过Newman的Tauberian定理的推论$-L'(s,\chi)/L(s,\ chi)$使用比较Dirichlet级数$-L'(s,{\mathbf 1}_m)/L$.
因此(a)意味着(b)。
为了表明(b)意味着(a),我们将使用以下事实。对于函数美元(x)$在$[1,\infty)$有界且Riemann可积$1,T]美元$对所有人来说$T\geq 1美元$,所以$f(s):=\int_1^\infty(a(x)/x^s)dx/x$绝对收敛于美元\西格玛>1$,如果$a(x)至0$作为$x\至\infty$和$f美元$推广到上的亚纯函数美元\西格玛=1$然后$f美元$事实上是全纯的美元\西格玛=1$.(用于显示条件美元\psi(x)\sim x$暗示$\zeta(s)\not=0$在美元\西格玛=1$通过使用$a(x)=\psi(x)/x-1$.)由于积分表示$$-\压裂{L'(s,\chi)}{sL(s,\ chi){=\int_1^\infty\frac{\psi_\chi(x)}{x}\frac}{x^s}$$和$$-\压裂{L'(s,{\mathbf 1}_m)}{sL(s,}\mathbf1}_m)}-\frac{1}{s-1}=\int_1^\infty\left(\frac}\psi{\matHBf1}(x)}{x}-1\right)\frac[dx}{x^s},$$对于${\rm Re}>1$,哪里美元\chi$在第一个方程中很重要。当$a(x)=\psi_\chi(x)/x$对于非平凡美元\chi$和$a(x)=\psi_{{\mathbf1}_m}(x)/x-1$得出结论$L'(s,\chi)/L(s,\ chi)$是全纯的美元\西格玛=1$对于非平凡美元\chi$和$L'(s,{\mathbf 1}_m)/L(s,{\mathbf 1}_m)$是全纯的美元\西格玛=1$除了在美元=1$,所以$L(s,\chi)$正在取消设置美元\西格玛=1$和$L(s,{\mathbf 1}_m)$正在取消设置美元\西格玛=1$.因此(b)意味着(a)。
(b)意味着(c)由上述积分表示$-L'(s,\chi)/L(s,\ chi)$对于所有非平凡的美元\chi$用标准方法证明(c)。
我们的最后一步是显示(c)意味着(b)。设置$\pi(x;a\bmodm)=|\{p\leqx:p\equiv a\bmod m\}|$什么时候$(a,m)=1$和$\pi_\chi(x)=\sum_{p\leqx}\chi$,哪里美元\chi$是Dirichlet字符模块百万美元$.写入美元\chi$作为以下各项的线性组合上的增量函数$(\mathbf Z/m\ mathbf Z)^\次$:$\chi=\sum_{a\in(\mathbf Z/m\mathbf-Z)^\times}\chi(a)\delta_a$.然后\开始{align*}\pi_\chi(x)&=\sum{p\leqx}\chi\\&=sum_{p\leqx}\sum_{a\in(\mathbfZ/m\mathbf Z)^\times}\chi(a)\delta_a(p)\\&=\sum_{a\in(\mathbf Z/m\mathbf-Z)^\times}\chi(a)\left(\sum_{p\leq x}\delta_a(p)\right)\\&=\sum_{a\in(\mathbf Z/m\mathbf Z)^\times}\chi(a)\pi(x;a\bmod m),\结束{align*}所以$$\压裂{\pi_\chi(x)}{x/\log x}=\sum_{a\in(\mathbf Z/m\mathbfZ)^\times}\chi[a)\frac{\pi(x;a\bmodm)}{x/\log-x}。$$由(c),作为$x\至\infty$右侧倾向于$\sum_{a\in({\mathbf Z}/m{\mathbf Z})^\times}\chi(a)/\varphi(m)$,如果为0美元\chi$不平凡。因此,当美元\chi$我们拥有的并不平凡$\pi_\chi(x)=o(x/\log x)$,这意味着$\psi_\chi(x)=o(x)$通过同样的论点$\pi(x)\sim x/\log x$暗示$\psi(x)\模拟x$.显示(c)意味着$\psi_{{\mathbf 1}_m}(x)\sim x$,综合(c)中的关系美元$在里面$(\mathbf Z/m\ mathbf Z)^\次$到得到$\pi(x)\sim x/\log x$,素数定理,其中等于美元\psi(x)\sim x$,所以$\psi_{{\mathbf 1}_m}(x)\sim x$自从$\psi_{{\mathbf 1}_m}(x)=\psi(x)+O_m(\log x)$.
QED定理2。
更新(2022):素数定理$\pi(x)\sim x/\log x$相当于涉及Moebius函数的两个属性:$\sum_{n\leqx}\mu(n)=o(x)$和$\sum\mu(n)/n=0$它们在定理2中都有类似之处。请参见在这里.