我有一个问题，关于赋予伽罗瓦作用的方案之间的态射的某种性质。其动机来自菲尔·托斯特森（Phil Tosteson）关于这个问题.
菲尔写道：“如果地图通过投影进行因子分解，它会唯一地进行因子分解（投影占主导地位）。因此因子分解是自动伽罗瓦不变量……”
我想了解如何在给定的设置中具体描述Galois对态射的作用，以便能够讨论“Galois不变态射”。
我们所知道的。让X美元，Y美元$是千美元$-品种或更一般千美元$-方案。让$\上划线{k}$是的代数闭包千美元$和$Gal（上一行{k}/k）$Galois集团。我们考虑纤维产品$X\times_{\operatorname{Spec}\k}\operator名称{Spec}\\上一行{k}，Y\times_{\operatorname{Spec{k}\operatorname}\\下一行{k}$.
我们引入缩写$\上划线{X}:=X\times_{\operatorname{Spec}\k}\operator name{Spec}\\上划线{k}$.
让$f:\overline{X}\到\overline{Y}$在$\上划线{k}$-方案。
问题：我命令决定是否$f美元$是“伽罗瓦不变量”，我们需要欺骗哪一个伽罗瓦作用$f美元$我们考虑。在这种情况下，我们有“行动”（即规范的行动）吗？
我知道几个定义动作的可能性$f美元$以不同的方式（见下文），但我不确定当文献讨论“伽罗瓦不变态射”时，哪一种是标准的。
我知道定义操作的两种方法$f美元$:
1让Gal中的$\sigma\（\overline{k}/k）$.然后美元\西格玛$根据$\上划线{X}$通过态射$id_X\次（\operatorname{Spec}\\sigma）$具有$\operatorname{Spec}\\sigma:\operator name{Spec}\\上一行{k}\to\operatormame{Spec}\上一行}$.我们使用符号$\上划线{\sigma}:=id_X\times（\operatorname{Spec}\\sigma）$.
然后我们可以定义$f美元$通过美元\西格玛$通过“共轭”$\sigma（f）：=上划线{\sigma^{-1}}\circ f\circ\上划线{\sigma}$
2考虑一组$\上划线{k}$-有价值的点$\overline{X}（\overline{k}）：=Hom（\operatorname{Spec}\\overline}，\overlaine{X}）$.
我们可以说两件事：
-Galois组作用于$\overline｛X｝（\overline｛k｝）$通孔组成$\alpha\mapsto\alpha\scirc（\operatorname{Spec}\\sigma）$对于$\alpha\in\overline{X}（\overline{k}）$和Gal中的$\sigma\（\overline{k}/k）$
-$f美元$诱导贴图$f（\bar{k}）：\上划线{X}$通过堆肥$\alpha\mapsto f\circ\alpha$
因此，Galois集团也在$f（\bar{k}）$通过预合成$f（\bar{k}）\mapstof（\bar{k}）\circ（\operatorname{Spec}\\sigma）$
有趣的是$\overline{X}（\overline{k}）$在$\上划线{X}$因此从2开始的伽罗瓦作用$f（\bar{k}）$由连续性和密度引起一种独特的作用$f美元$.
这是我们（至少）有两种可能性，Galois集团可以采取行动$Hom（上划线{X}，上划线{Y}）$我们可以说$f\in Hom（\overline{X}，\overline{Y}）$Gaois不变，如果美元\西格玛（f）=f$已修复。
回到我的问题：如果我们谈论Galois的行动$f美元$（或致电$f美元$Galois不变量）如果没有像我的MO问题中那样明确解释，通常会建议哪个动作：1还是2？
