两个整数序列的差异：所有零和一？

Question

假设$c美元$是非负整数，并且$A_c=（A_n）$和B_c美元=（B_n）$严格增加互补序列是否满足

$$a_n=b{2n}+b{4n}+c$$

哪里$b_0=1$有人能证明这个序列吗$A_1-A_0$完全由零和一组成？

笔记：

$$A_0=（2、10、17、23、31、38、44、52、59、65、73、80、86等）\\A_1=（3、11、17、24、31、39、45、53、59、66、74、80、87个）$$

序列$A_0$满足线性递归$a_n=a{n-1}+a{n-3}-a{n-4}$.

观看可能会有帮助A_1美元$开始吧。自$b_0=1$我们有$a_0=1+1+1=3$，自A_1美元$和B_1美元$是互补的，我们有$1=2$。接下来，$a_1=b2+b2+1 \geq 4+6+1=11$，所以$b_2=4，b_3=5，\ldot，b_8=10$、和$a_1=11$.然后$a_2=b_4+b_8+1 \geq 17$等等。

Answer 1

与中相同的方法这是对你之前问题的回答同样有效。

至于$（A_0）$.从猜测开始$$7n+2\leq a_n\leq 7n+3，$$并试图用归纳法证明这一点，我们得出$b_{6n+2}\geq7n+4$和$b_{6n}\leq 7n+1$，因此$$t+\left\lfloor\frac{t+4}6\right\rfloor+1\leq b_t\leq t+\laft\lceil\frac t6\rift\rceil+1，\qquad（**_0）$$所有人都同意$t=6k+2，\点，6k+6$.所以即使如此$t（美元）$我们有$b_t=t+\lceil t/6\rceil+1$，甚至可以得出精确的公式$a_n$:$$a_n=7n+\开始{案例}2，&n\mod 3=0；\\3，&n\mod 3\neq 0.\end{cases}$$

至于$（A_1）$.从猜测开始$$7n+3\leq a_n\leq 7n+4，$$并试图用归纳法证明这一点，我们得出$b_{6n+3}\geq7n+5$和$b_{6n+1}\leq 7n+2$，因此$$t+\left\lfloor\frac{t+3}6\right\rfloor+1\leqb_t\leqt+left\lceil\frac{t-1}6\右\rceil+1，\qquad（**_1）$$所有人都同意$t=6k+3，\点，6k+7$.所以我们有$b_t=t+\lceil（t-1）/6\rceil+1$，除了$7k+3\leq b_{6k+2}\leq 7k+4美元$。这就产生了$$a_n=7n+\开始｛个案例｝3，&n\mod 3=0；\\3\text｛or｝4，&n\mod 3\neq 0.\end｛cases｝$$

所需结论如下。

事实上，这个结论也可以直接从$(**_0)$和$(**_1)$.