$\mathbb｛C｝上的非单分支格式的Etale同态型$

Question

在这些笔记除其他外，还说明了以下定理。

让X美元$是上的点连通几何单分支格式$\mathbb{C}$那么Artin-Mazur etale同伦类型X美元$等价于拓扑空间同伦类型的profinite完备$X（\mathbb{C}）$.

Artin在SGA 4 Expose XVI中显示，对于方案Y美元$上的有限类型$\mathbb{C}$和恒定的捆$F（美元）$与有限阿贝尔群相关的是同构$$H^n_{et}（Y，F）=H^n（Y（\mathbb{C}），F）。$$

在某种意义上，第二个定理比第一个定理更强，因为它不限于单分支方案。对于非单分支方案，是否可能给出描述etale同伦类型（不仅是上同调群）的第一个定理的更强大版本？

Answer 1

如果$X美元$不是几何单分支，etale同伦类型可能不再是profinite，但Artin和Mazur证明了（在第12章定理12.9中）它的profinite完成与profinite的完成一致$X（\mathbb{C}）$.

也许这不是最好的结果，但不清楚如何改进。想想曲线$X美元$通过识别上的两点获得$\mathbf美元{G} _米$.然后$X（\mathbb{C}）$同伦类型为$S^1\vee S^1$，所以$\pi_1（X（\mathbb{C}））$是的免费产品$\pi_1（\mathbb{G} _米（\mathbb{C}））\simeq\mathbb{Z}$和$\pi_1（\text{循环通过节点}）\simeq\mathbb{Z}$。对于$\pi_1^{\rm SGA3}（X）$，我认为$\pi_1美元$对于etale同伦类型，我们应该得到$\pi_1（\mathbb{G} _米)\simeq\widehat{\mathbb{Z}}$和$\pi_1（\mathbb{A}^1/1\sim 0）\simeq\mathbb{Z}$.同伦类型$X（\mathbb{C}）$知道哪个循环生成的离散副本$\mathbb{Z}$里面$\pi_1美元$etale同伦类型？

这似乎表明，没有地球仪。单分支假设$X（\mathbb{C}）$不确定的etale同伦类型X美元$.