当$a$是一个变量时，Anon的答案给出了一个漂亮的几何证明。下面我试图给出一些常用代数证明的几何解释。
首先是一个免责声明：我不是代数学家，所以下面的解释将是一个学习者的观点，可能是从分析的角度来看的，因此对专家来说可能显得很特殊。
我将从解释证据中使用的两个关键成分开始。
1.象征力量
让$\frak p$成为$a$的最佳理想。我认为本地化$A{\frakp}$捕获了函数在$V（{\frak p}）$的泛型点附近的行为。为了理解我的意思，以$A=k[x，y]/（xy，y^2）$和${\frakp}=（y）$为例。从几何角度来看，$Spec A$是$x$-轴加上原点处2阶的模糊数，而$V（{\frak p}）$只是$x$轴。现在看看A$中的$y\。我们有$y$在$A$中为非零，但在$A{\frak p}$中变为零（其中$y=xy/x=0$）。几何解释是，对于任何$x_0\neq0$，$y$确实在$（x_0,0）$的邻域上为零，因为在该点附近没有模糊。$A$中$y\neq0$的唯一原因是它只在原点附近消失到1阶，而原点（2阶）的fuzz捕捉到了它。但这发生在$V（{\frak p}）$（所谓的嵌入素数)，所以行为不是泛型的（在这个词的口语意义上），所以我们仍然可以说$y$在$V（｛\frak p｝）$的泛型点的邻域上消失，这解释了为什么它在$a_｛\frak p｝$中消失。
概括一下这个例子，如果我们取$a=k[x，y]/（xy^n，y^{n+1}）$，我们会看到$Spec a$是$x$-轴，重数为$n$（换句话说，在$y$方向上有$n$级的fuzz），加上原点处$y$向$n+1$级的一些fuzz。再次让${\frak p}=（y）$。然后${\frakp}^{（m）}$（符号幂）由函数组成，这些函数在$V（{\frakp}）$的泛型点消失为$m$。因此，对于$m<n$，${frakp}^{（m）}=（y^m）$，而对于所有$m\gen$，则${frak p}^}=（y^n）$。事实上，$y^n$只在原点附近消失以订购$n$并不重要，因为原点只是一个单点，对于$V（{\frakp}）$来说不够通用。
2.中山引理
OP没有问这个问题，但由于这个引理在证明中经常使用，我也会尝试从几何角度解释它。设$（A，{\frakm}）$是局部环，$m$是有限生成的$R$模。我认为$A$是原点邻域上全纯函数的萌芽，$M$是该邻域上某种全纯向量丛。Nakayama引理的条件是$M={frakm}M$。通过迭代，我们得到任意$n\in\mathbbN$的$M={\frakm}^nM$。这意味着$M$的所有部分在原点附近消失为任意高阶。通过全纯启发式，$M$的所有部分都相同地消失，因此$M=0$。
现在我们来看看克鲁尔主理想定理的实际证明，例如，在这里.
通过标准约简，我们可以假设$（A，\frak m）$是一个局部域，$f\neq0$具有最小素理想$\frak m$。假设$\frakm$中包含一个素理想$\frakp$，我们的目的是证明${\frakp}=（0）$。
考虑$V（f）$。由于$\frak m$是$A$的最大理想，同时$f$的最小素理想，$V（f）$包含一个（模式理论）点，即$\frak-m$本身（用代数术语来说，$A/（f）美元是Artian局部环），加上围绕该点的有限阶fuzz。考虑符号幂$｛\frak p｝^｛（n）｝$，即在$V（｛\frak p｝）$的泛型点消失到至少$n$阶的函数的理想。然后${frakp}^{（n）}|_{V（f）}$（代数上这是$A/（f）$中的理想${frak p}^}（n。$n$越大，它可能包含的模糊性就越大。由于$\frakm$周围fuzz的总阶数是有限的，对于$n\gg1$，${\frakp}^{（n）}|_{V（f）}$中包含的fuzz阶数不会改变（这是Artian环的DCC属性。）用代数表示，这等于${\Frakp}^{。
现在取$x\in{\frakp}^{（n）}$。然后$x$至少消失以在$V（{\frak p}）$上通用地订购$n$，但我们可以写$x=y+fr$，其中$y$至少消失以便在$V。但是$\frak p$不是$V（f）$中的一个点（它的唯一点是$\frak-m$），所以$f|_{V（{frak p}）}\neq0$。由于$V（｛\frak p｝）$是不可约的，因此$f$在$V（｛\frak p｝）$上一般不会消失到任何阶。因此，$r$至少消失，以便在$V（{\frak p}）$上通用地订购$n$。回到代数，我们得到了${\frakp}^{（n）}={\frackp}^}{（n+1）}+f{\frak p}^[n）}$。
现在我们考虑模块${\frakp}^{（n）}/{\frackp}^}（n+1）}$。上述标识表明，此模块中的每个元素都是$f$的倍数。通过迭代，我们知道对于所有$m\in\mathbb N$，每个元素都是$f^m$的倍数。由于$f$在$\frakm$处消失，${\frakp}^{（n）}/{\frak p}^}{（n+1）}$中的每个元素在$\fram$处消失为任意高位。根据Nakayama引理，模完全消失，因此${frakp}^{（n）}={frakp2}^{（n+1）}$。
现在转到本地化$A_{\frakp}$，也就是说，我们忘记了函数在$V（{\frak p}）$的特定点上的行为，而只考虑它在$V的一般点附近的行为。由于坐标环考虑了一般行为，因此没有必要为了符号力量的本地化而重申它。因此，${\frakp}^{（n）}A{\frak p}={\frak-p}^nA{\frack-p}$，它对于$n\gg1$是静止的。然后${\frak p}^nA_{\frak p}$中的任何元素都消失到$\frak p$附近的任意高阶。再次通过Nakayama引理，${frakp}^nA{frakp2}=（0）$。
总而言之，我必须使用一些代数（我之前的几何论证与我之前的观点有些矛盾。）因为$A$是一个域，本地化$A\到A_{frakp}$是内射的，所以$A$中的${frakp2}^n=（0）$。同样，因为$A$是一个域，所以${\frakp}=（0）$。
