一个典型的例子：波动方程（为了简单起见，让我们在1d中工作，但想法很一般）：
$$\partial_t^2u=\ partial_x^2u$$
设$v=\partial_tu$和$w=\parcial_xu$。然后，上述等式变为
$$\partial_tv=\ partial_xw$$
作为同一函数$u$的两个不同的偏导数，$v$和$w$通过偏导数的互换性相关：
$$\partial_tw=\ partial_xv$$
上述两个方程可以写成矩阵形式
$$\partial_t{v\choose w}=S\partial _x{v\ choose w}$$
其中$S$是对称矩阵
$$\开始{pmatrix}0&1\\1&0\结束{pmatricx}$$
另一方面，在标准双线性乘积下（为了简单起见，让我们使用实值函数）
$$\langle f，g\rangle=\int f（x）g（x）dx$$
$\partial_x$是一个反对称运算符，这得益于按部件进行的积分：
$$\langle\partial_xf，g\rangle=\int\partial _xf（x）\cdot g（x）dx=-\int f（x$$
由于$S$和$\partial_x$通勤，$S\partial _x$也是反对称的：
$$（S\partial_x）^T=\partial _x ^T \ circ S^T=-\partial-x\circ S=-S\partial.x$$
因此，变量$X=（v，w）^T$中的波动方程如下
$$\partial_tX=AX$$
其中$A=S\partial_x$是反对称的。在有限维（双）线性代数中，我们知道反对称矩阵生成的流保持双线性形式。这推广到无限维函数空间的设置。因此，上述演化方程保持双线性形式
$$\langle X，X\rangle=\int（v（X）^2+w$$
能量密度自然弹出：
$$e（x）=\partial_tu（x）^2+\partial_xu（x）^2$$
瞧！
PS（聚苯乙烯）上述过程可广泛推广到对称（甚至可对称）双曲系统。有关教科书参考，请参阅迈克尔·泰勒的第5章，伪微分算子与非线性偏微分方程.
