简单生成的具有神秘差异的序列

Question

假设$a_0<a_1，$$b_0<b_1，$和$$a_n=a_1b_{n-1}+a_0b_{n-2}+qn+r$$对于$n\geq2$，其中$a_0，a_1，b_0，b_1，q，r$是整数，使得$（a_n）$和$（b_n）$增加，并且${（|a_n|）}$和${（|b_n|）}$对正整数进行分区。对于$n\geq0，$$D=\{（a_n-a{n-1}，b_n-b{n-1{）\}，$$的基数可以证明什么$

实验结果：

1. 如果$（a_0，a_1，b_0，b_1，q，r）=（-1,2,3,4,2，0）$，则$|D|=9$；参见“实验事实”$\sqrt{2}的外观可能令人惊讶$

2. 如果$（a_0，a_1，b_0，b_1，q，r）=（1,2,3,4,1,0）$，则$D=\{（1,1），（4,1），（4，2），（5,1）、（6,1）和（11,1）\}$

3. 如果$（a_0，a_1，b_0，b_1，q，r）=（3,4,1,2,1，-7$

学习套装$D$的原因包括以下相关问题：

1. $（a_n-a{n-1}）$是线性递归的吗？

2. 设$d$是一个在$（b_n-b_{n-1}）$中无限多次出现的数字，且$（p_n）$是数字$k$的序列，使得$b_k-b_{k-1}=d。$（p/n）$必须收敛吗？例如，对于$（a_0，a_1，b_0，b_1，q，r）=（-1,2,3,4,2，0）$，我们有$$（p_n）=（1,11,13,16,19,22,25,28,31,34,37,43,45,51,53,56,62，\dots）$$看起来$\lim{n\to\infty}pn/n=1+\sqrt{2}$

Answer 1

这只不过是一个长篇评论。似乎更简单的情况是，当$a{n+1}-a_n>1$（至少最终是这样），这意味着$b_{n+1}-b_n\in\{1,2\}$（最终是这样的），并且$a{n+1}-a-n$取$r$整数的有限集$\mathcal{a}$中大于或等于$2$的值。然后序列$a_{n+1}-a_n$由替换映射生成（如所述在这里或在这里，因此整个序列$a{n+1}-a_n$被视为一个无限字符串，其形式为$p\cdot\tau（p）\cdot\t au。对于这样的替换映射$\tau$，可以编写一个关联的$r次r$转换矩阵$a:=（a_{ij}）$，表示转换后单词中每个符号的出现次数：让$a_{ij}$表示单词$\tau（s_j）$中字母$s_i$的出现次数。然后，如果在向量$X$中，$X_i$是给定单词$w$中$s_i$的出现次数，则$AX$的坐标给出单词$\tau（w）$中每个$s_i$的出现次数，因此，对于$w＝p$，向量$a^kX$给出$\tau（p^k）$中字母的分布；$\tau（p^k）$的长度是$A^{k-1}X$的坐标之和。这样，$a_n$的各种渐近性可以很容易地与$a$的谱相关；事实上，人们使用了有限马尔可夫链的标准技术，引入了从映射$\tau$推导出的合适的马尔可夫链条。例如，引用的两个案例都可以这样处理。

当$a_{n+1}-a_n$可以频繁地取值$1$时，$b_{n+1}-b_n$假定了更多的值，我对此似乎不太清楚，但它可能是在同一行中研究的。