调和贴图的气泡示例

Question

让我们考虑一个闭黎曼曲面$（\Sigma，h）$和一个维数大于$3$的紧致黎曼流形$（N，g）$。如果给定能量有界的调和映射序列$u_n:（\Sigma，h）\rightarrow（n，g）$，即。$$E（u_n）=\int_\Sigma\vert du_n\vert^2\，dv<C$$众所周知，我们有一个能量恒等式，也就是说存在一个调和映射$u^\infty:（\Sigma，h）\rightarrow（N，g）$和一些气泡，即调和映射$\omega_i:\mathbb{C}\right箭头（N，g）$，这样

$$\lim_n E（u_n）=E（u^\infty）+\sum_｛i｝E（\omega_i）$$我的问题是：

$i\geq 1$真的发生了吗？

当$\Sigma=\hat{\mathbb{C}}$时，考虑到$$u_n（z）=（z，nz）$$但在这里，$\hat{\mathbb{C}$的共形群不是紧的这一事实似乎至关重要。那么，当$\Sigma$不是$\mathbb{C}$时，特别是在大于$2$的属中，是否有冒泡的例子？

Answer 1

对。$\Sigma$的属实际上并不相关。这里有一个例子：假设$f$和$g$是$\Sigma$上的两个亚纯函数，其中$g$为非恒定函数，并考虑由以下公式给出的映射序列$u_n:\Sigma到n^4=\mathbb{CP}^1\times\mathbb}CP}^1$$$u_n（p）=\bigl（[f（p）]，[n\，g（p）]\bigr）。$$（这里，$N$是乘积度量，$\mathbb{CP}^1$上的度量是恒定截面曲率$1$的标准度量。）当$N$达到$\infty$时，这些（全纯的，因此也是调和的）映射的能量密度保持有界，远离$g$的零除子，但在邻域中趋于无穷大。在极限中，一个人有$u^\infty（p）=\bigl（[f（p）]，[\infty]\bigr）$，$u^\finfty$的能量本质上是$f$的度，而$u_n$的能量实质上是$f的度加上$g$的度。“气泡”的数量是$g$的零除数中的点数，它可以任意大。