解析函数的拓扑代数能被赋予定义自然拓扑的范数吗？

Question

是的，所以在我对复杂分析的研究中，我对这个问题感到困惑，这个问题可能有一个简单易懂的答案，但我真的很想知道，我需要它，所以我在这里请求帮助。我面临的问题是：

如果我们在复平面上有一个域（如单位圆盘）D，并且我们在D上有一元解析函数的拓扑代数，那么在这个代数上是否有一个合适的范数，使得它可以导出“自然拓扑”，即紧集上收敛的拓扑？

我真的很感激你能以是/否的回答来帮助我解决这个问题。我感谢所有善良的帮助者。

Answer 1

对于那些没有这本书（或有错误版本）的人，这里证明了单位圆盘上全纯函数的拓扑向量空间是不可范数的（即其拓扑不是由范数定义的）。

定义：拓扑向量空间（在$\mathbb R$或$\mathbb C$上）为局部有界如果有一个0的邻域$U$，那么对于0的任何邻域$V$，都有一个$\epsilon>0$，这样对于任何带有$|a|<\epsilon$，$aU\subset V$的$a$。（我们说一组$U$是有界的如果满足上述条件，则拓扑向量空间是局部有界的，如果它的有界邻域为0。）

根据第一性原理，赋范空间是局部有界的，因此要证明单位圆盘上全纯函数的空间是不可规范的，就足以证明这个空间不是局部有界的。

证明。假设$U$是0的有界邻域。因为根据定义，有界集的任何子集都是有界的，所以我们可以缩小$U$，以便

$$U=U（K，\epsilon）=\{f:|f（z）|<\epsilen，对于K\}中的所有z\$$

其中$\epsilon>0$和$K$是单位磁盘的紧凑子集。显然，$K$越大，$U（K，\epsilon）$越小，任何这样的$K$都包含在半径$r<1$的（封闭）磁盘$D（r）$中。因此，对于某些$r<1$，我们可以再次将$U$收缩到$U（D（r），\epsilon）$。现在

$$aU=U（D（r），a）$$

让

$$V=U（D（\sqrt r），1/2）$$

无论$a>0$有多小，我们都可以选择$n$，这样$（\sqrt r）^n<a$，以便

$$f:=\frac12（z/\sqrt r）^n\在aU\反斜杠V中$$

所以我们不能有$aU\subet V$。

Answer 2

根据Montel定理，全纯函数空间中的每个有界集（w.r.t.紧集上一致收敛的拓扑）都是相对紧的。如果空间被赋范，其闭合单位球将是紧的，这意味着空间是有限维的。

Answer 3

有一个基本的答案。让$D$是$\mathbb{C}$的任何域。对于一致收敛的拓扑结构（使用柯西积分公式），通常的求导算子$\偏：\mathcal{O}（D）\to\mathca{O}（D）$是连续的，但对于任何范数都不是连续的。考虑函数$f_n:=\frac{e_n}{||e_n||}$的序列，其中$e_n~：~x\mapsto\exp（nx）$。