小巴拿赫空间中的闭合单位球在大巴拿赫区域中何时闭合？

Question

最近我看到了一个有趣的引理：

对于任何$s>0$，$H^s$中的闭合单位球也在$L^2$范数中闭合。也就是说，假设H^s$中的$u_j\和$\|u_j\|{H^s}\le1$。假设$L^2$中的$u_j到u$。然后是H^s$中的$u\和$\|u\|_{H^s}\le1$。

上述引理的一个可能证明是进行傅里叶变换并使用Fatou引理。另一个可能的证明是使用Riesz表示定理找出$u$的连续高阶导数（不过，似乎只有当$s$是正整数时才有效）。

考虑到上面的证明，在我看来，$H^s$和$L^2$之间存在某种兼容性，以支持上面的引理。对于一个非示例，很容易看出，$C^0（[0,1]）$中的闭合单位球在$L^2$范数中不是闭合的，例如，只需取一系列在$L_2$到$1_{[0,1/2]}$中收敛的连续函数。

这让我想到了一个问题：让$Y$成为Banach空间$X$的稠密子空间。对$（X，Y）$的什么条件使$Y$中的闭合单位球也在$X$中闭合？如果不存在简单的iff条件，是否存在非平凡的充分/必要条件？在分析中的公共空间（例如Holder空间或Sobolev空间）中，是否有一个列表，列出了上述属性要保存的所有对？

谢谢你抽出时间。

Answer 1

假设您有两个Banach空格$X$和$Y$，以及一个（有界）运算符$TX:\到Y$。调用运算符$T$半埋入式如果$T$是内射的并且$T（B_X）$在$Y$中闭合。所以你会问，经典巴拿赫空间之间的自然映射何时是半嵌入的。

我不知道半嵌入的特征比定义更好，但是，例如，如果$T:X\到Y$具有稠密范围，那么共轭算子$T^*：Y^*\到X^*$是半嵌入。

已经研究了Banach空间之间的半嵌入，因为它们保留了一些同构性质：

• Bougain和Rosenthal证明了如果$X$是可分离的，那么Y具有Radon-Nikodym属性，并且存在一个半嵌入$T:X\到Y$，那么$X$具有Radon-Nikodym.属性。
• Neidinger和Rosenthal证明了如果$T:X\到Y$是内射的，并且$T$对$X$的闭子空间的每个限制都是半嵌入的，那么$T$就是牛头字。在这种情况下，许多同构属性从$Y$传递到$X$。例如，如果$Y$是自反的或不包含$\ell_1$的副本，则$X$具有相同的属性（参见Neidinger的博士论文）。

这些结果有助于找到非半嵌入的内射算子的示例。

Answer 2

冈萨雷斯指出了一些关于半埋置的更深入的结果。当$X$是自反的时，有一个基本的特征：$B_Y$在$X$中是封闭的，如果等距地存在$Z$s.t.$Y=Z^\ast$，并且从$Y$到$X$的包含映射$J$是弱$^\ast$to弱连续的。如果$Y$是自反的，则这是自动的，如果$Y$s不是对偶空间的等距同构，则不会发生；特别是，如果$Y$是$C[0,1]$、$C_0$或$L_1$。