哪个多项式的根是它的系数？

Question

从任何具有复数系数的次数$n$多项式开始，例如。，$$z^3+z^2+2z+3\$$找到它的$n$根，并按模数顺序列出它们：-1.28美元，（0.14\下午1.53 i）$$现在形成一个新的多项式，其前导系数为$1$，另一个为$n$根的系数：$$z ^3-1.28，z^2+（0.14-1.53 i）\，z+（0.14+1.53 i）\；。$$这里我使用了排序约定$（a-bi）<（a+bi）$。更正式一点，让$P$$$P\；：\；z ^n+a（z ^n+a）_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a0\；，$$带根$$r_{n-1}，\ldot，r_0$$排序为$ri\ler{i-1}$。将$P_1$定义为$$P_1\；：\；z ^n+r_{n-1}z^{n-1}+\cdots+r0\；。$$我的问题是：

第一季度。这些多项式的根是其系数，在$r_i=a_i$，$i=0，\ldots，n-1$的意义上，即$P_1=P$？

这里有一个固定点：$$z^3（z ^3）-（0.782599+0.521714 i）\，z^2+（0.884646-0.589743 i）\，z+（0.680552+1.63317 i）$$

当这个过程被迭代时，它似乎会陷入循环中，而不总是长度为$1$。

第2季度这个过程的迭代是否总是属于一个循环？

(补充。 3第15页）Igor Rivin提出的问题也很有趣，特别是考虑到理查德·斯坦利的评论关于实多项式：

第3季度。哪些多项式的根是其系数，按任何顺序排列？（这是Q1的无序版本。）

(补充。 2015年9月4日.)关于Q2，我意识到它不如其他问题有趣，这里是一个长度为$11$的周期的例子。我绘制矢量的大小从随机三次多项式开始，$3$根与迭代#的比较。最后根向量是$$（-1.52+0.88 i，-0.48-0.90 i，1.00+0.02 i）$$震级为2.27$：

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Answer 1

它是已知的（尽管除了http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-s34-problem-solving-seminar-fall-2007/assignments/roots.pdf，#2）唯一真实的根等于系数的非零常数项多项式为$x^2+x-2$、$x^3+x^2-x-1$和（近似）$x ^3+.56519772 x ^2-1.76929234 x+.63889690美元$$$$x ^4+x ^3-1.7548782 x ^2-.5698401 x+.3247183$$更新。我找到了一个参考文献：P.Stein，关于系数等于其根的多项式方程，阿默尔。数学。每月 73(1966), 272-274.

Answer 2

对于无序版本，度的解决方案$3$是$$\eqalign{x^3&\crx^3&{}+x^2-2\，x\crx^3&{}+x^2-x-1\crx^3&｛｝+\left（r^2/2-1\right）x^2+rx-r^2+2\\text｛where｝r^3-2 r+2=0\cr｝$$学位的解决方案$4$是$$\eqalign（美元\eqalign）{x^4\crx^4&{}+x^3-x^2-x\crx^4&{}+x^3-2\；x^2\cr（x ^2 \cr）x^4&{}+\左（\frac{r^2}{2}-1\右）x^3+rx^2+（-r^2-r+2）x\\text{其中}\r^3-2\，r+2=0\crx^4&{}-r^2 x+rx^2+x^3+r^2-2\，rx+r-x-1\\text{where}\r^3+2\，r^2+r+1=0\crx^4&{}+\左（\压裂{r^{12}}{4}+{\压裂{53\，r^{11}}{116}}+{压裂{19\，r^{10}}{116}}-{\frac{43\，r^9}{116{}-{\ frac{59\，rr^8}{116}}-{\压裂{9\，{r}^{7}}{29}}+{\压裂}{29}}+{\压裂{35\，{r}^{4}}{58}}\右。\cr&\左。{}-\压裂{{r}^{3}}{29}+{\压裂{2\，{r}^{2}}{29}}+{\压裂{5\，r^{13}}{116}}+\压裂{r}{29}-{\frac{12}{29}}\right）{x}^{3}+r{x}^{2} \cr&{}+\左（-{\frac{49\，r^{11}}{29}}+{\frac{123\，{r}^{10}}{58}}+{\frac{207\，{r}^{9}}{58}}+{\frac{195\，{r}^{8}}{58}}-{\ frac{27\，{r}^{7} }{58}}-{\压裂{373\，{r}^{6}}{58{}-{压裂{113\，{r}^{5}}{29}}+{\压裂{77\，{r}^{4}}{29}}\右。\cr&\左。{}+{\frac{13\，{r}^{3}}{29}}-{\frac{47\，{r}^{13}}{58}}-\压裂{5\，{r}^{12}}{2}+{\压裂{3\，{r}^{2}}{29}}-{压裂{100\，r}{29{}+{\压裂{98}{29}}\右）x+2\，{r}^{12}+{\压裂{45\，{r}^{11}}{58}}-{\裂缝{71\，{r}^{10}}{29}}\cr&{}-{裂缝{82\，{r}^{9}}{29}}-{\裂缝{68\，{r}^裂缝{8}}{29}}+{压裂{63\，{r}^{7}}{58}}+}压裂{329\，{r}^{6}}{58}}+\\压裂{51\，{r}^{5}}{29}}-{\压裂{112\，{r}^{4}}{29}}+{\压裂}-{\frac{74}{29}}-{\frac{11\，{r}^{3}}{29{}\cr&{}-{\ frac{7\，{r}^{2}}{29}}+{\frac{69\，r}{29}}\\text{where}\cr{r} ^{14}和{}+2\，{r}^{13}-{右}^{12}-4\，{r}^{11}-{r} ^｛10｝+4\，｛r｝^｛8｝+6\，｛r｝^{7} -4\，{r}^{6}-6\，{r}^{5}+4\，{r{4}+4\^{2}-8\，r+4=0}$$请注意，您总是可以将解决方案乘以$x^k美元$对于正整数千美元$，获取千美元$更多系数$0$匹配千美元$更多根$0$.

Answer 3

这是对Q1的部分回答。我用维埃塔公式找到了1、2和3次多项式。

让$|\alpha|<|\beta|<|\ gamma|$是多项式的根。

对于1级：我们得到最后一个系数是$-\阿尔法$根据维埃塔的公式，它是$\阿尔法$根据标准如此$\alpha=0$唯一的多项式是$P（x）=x$，用于统计。

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对于2级：我们得到了$\alpha\beta=\beta$,$-\alpha-\beta=\alpha$从第一个方程中我们可以得到$\beta=0$或$\alpha=1$.$\beta=0$给予$\alpha=0$.$\alpha=1$给予$\β=-2$.

因此多项式为$P（x）=x^2$和$P（x）=x^2+x-2$它们确实是静态的。

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对于3级：我们得到了$-\alpha\beta\gamma=\gamma$,$\α\β+\β\γ+\α\γ=\β$和$-\alpha-\beta-\gamma=\alpha$.

从第一个等式中我们得出$\gamma=0$或$\alpha\beta=-1$.如果$\gamma=0$，然后$\alpha\beta=\beta$和$-\alpha-\beta=\alpha$因此，我们得到了与第一部分中相同的方程，因此我们得到的多项式为$P（x）=x^3$和$P（x）=x^3+x^2-2x$.只有以前的统计数据$|\alpha|<|\beta|<|\ gamma|$.

如果$\alpha\beta=-1$，然后$\alpha=-\frac{1}{\beta}$。我们也有$\gamma=-2\alpha-\beta=2\frac{1}{\beta}-\beta$.因此$-1+2-\beta^2+1-\frac{2}{\beta|2}=\beta$。这将重写为$\β^4+\β^3-2\β^2+2=0$.

解决方案$\测试版$是(W|A验证):$\β=-1$,β=-1.7693美元$,$\β=0.88465-0.58974i$,贝塔系数=0.88465+0.58974i$。从中我们可以得到$\贝塔$，因此$\阿尔法$和$\伽马$.

$$P（x）=x^3+x^2-x-1$$

$$P（x）=x^3+0.565195x^2-1.7693x+0.638909$$

$$P（x）=x^3+（-0.78260-0.52171i）x^2+（0.88465-0.58974i）x+（0.68055+1.63316i）$$

$$P（x）=x^3+（-0.78260+0.52171i）x^2+（0.88465+0.58974i）x+（0.68055-1.63316i）$$

第二个违反了排序条件，但对Q3进行了统计。其他三个都是静态的。

Answer 4

这是一个冗长的评论，而不是一个完整的答案。

这与多变量Julia集问题非常相似，它的味道和无游荡域定理。

维基百科上的最后一句话很关键：然而，这个结果可以推广到许多函数自然属于有限维参数空间的情况，特别是超越整函数和具有有限个奇异值的亚纯函数

这表明答案是“是”最从某种意义上说，是指。

然而，我也强烈怀疑，存在一个“小”（度量值0）“类朱利叶”的排斥参数集，因此数学家阻止你真正找到一个混沌的步骤序列，但这组参数位于你的周期吸引力盆地的边界上。

总之，我的直觉表明有一组例外的启动参数，它们永远不会收敛到一个循环，但它是一个小集合，用您的方法进行计算机实验将无法找到它。

然而，如果你设法“向后”运行地图，那么这个特殊的集合应该会吸引人。这可能是一种了解选择哪些参数来找到这样一个点的方法。

Answer 5

当然有一整行二阶周期点，即根$（t，0，\cdots，0）$的$n$-元组，给出多项式$X^n-tX^{n-1}$。更一般的情况是，如果$（\mathbf r）$是一个$n$-元组，给出$m$的周期点，那么$（（\mathbf r），0）$似乎是一个$（n+1）$元组，为$（n+1）$-情况提供相同顺序的周期点。