这是对Q1的部分回答。我用维埃塔公式找到了1、2和3次多项式。
让$|\alpha|<|\beta|<|\gamma|$是多项式的根。
对于1级:我们得到最后一个系数是$-\阿尔法$根据维埃塔的公式,它是$\阿尔法$根据标准如此$\alpha=0$唯一的多项式是$P(x)=x$,用于统计。
对于2级:我们得到了$\alpha\beta=\beta$,$-\alpha-\beta=\alpha$从第一个方程中我们得到$\beta=0$或$\α=1$.$\beta=0$给予$\alpha=0$.$\α=1$给予$\β=-2$.
因此多项式为$P(x)=x^2$和$P(x)=x^2+x-2$它们确实是静态的。
对于3级:我们得到了$-\alpha\beta\gamma=\gamma$,$\α\β+\β\γ+\α\γ=\β$和$-\alpha-\beta-\gamma=\alpha$.
从第一个等式中我们得出$\gamma=0$或$\alpha\beta=-1$.如果$\gamma=0$,然后$\alpha\beta=\beta$和$-\alpha-\beta=\alpha$因此,我们有与第一部分相同的方程,因此我们得到多项式为$P(x)=x^3$和$P(x)=x^3+x^2-2x$.只有以前的统计数据$|\alpha|<|\beta|<|\ gamma|$.
如果$\alpha\beta=-1$,然后$\alpha=-\frac{1}{\beta}$。我们也有$\gamma=-2\alpha-\beta=2\frac{1}{\beta}-\beta$.因此$-1+2-\beta^2+1-\frac{2}{\beta|2}=\beta$。这将重写为$\β^4+\β^3-2\β^2+2=0$.
解决方案$\测试版$是(W|A验证):$\β=-1$,$\贝塔=-1.7693$,贝塔系数=0.88465-0.58974i$,贝塔系数=0.88465+0.58974i$。从中我们可以得到$\测试版$,因此$\阿尔法$和$\伽马$.
$$P(x)=x^3+x^2-x-1$$
$$P(x)=x^3+0.565195x^2-1.7693x+0.638909$$
$$P(x)=x^3+(-0.78260-0.52171i)x^2+(0.88465-0.58974i)x+(0.68055+1.63316i)$$
$$P(x)=x^3+(-0.78260+0.52171i)x^2+(0.88465+0.58974i)x+(0.68055-1.63316i)$$
第二个违反了排序条件,但对Q3进行了统计。其他三个都是静态的。