Motzkin多项式与弦图的枚举

Question

在论文的第12页多个区间和弦图的枚举及其不定向类比“Alexeev、Andersen、Penner和Zograf列出了一系列多项式，这些多项式是OEIS中列出的前几个Motzkin多项式的改进A055151号.

有人能证明这两组多项式之间的关系适用于所有更高的阶数吗？

2023年3月30日编辑：

Alexeev等人第12页上的数组的进一步细化是A350499，沿对角线读取，即逆非交叉分区/逆细化Narayana多项式/逆停车函数的系数（等）$[N^{（-1）}]$.

例如，从的第一个summand开始$k=2$去掉对角线的总和

$qs^2+3qs+2$.

将此与

$m_3-3m_2m_2+2m_1^2=N^{（-1）}_N$.

另一个示例，从开始k美元=4$，对角线是

$qs^4+（5q+5q^2）+（15q+15q^2”）+35qs+14$

与…相比

$m_5-5 m_2 m_3-5 m_4 m_1+15 m_2^2 m_1+15 m_3 m_1^2-35 m_2 m_1^3+14 m_1^5=N^{（-1）}_5$

最后，下一对角线的初始数字

$（1，6，9，21，42，7，56，84，？，加泰罗尼亚语；42？）$

是系数的粗化$N^{（-1）}_6$,

$(1, 6, (6, 3), 21, 42, 7, 56, 84, 126, 42).$

本文中的数组是从随机矩阵积分方法中导出的，这些方法似乎不可避免地会得出一些以方程组为例的自由概率基本方程。33-36.

Answer 1

平面部分弦图和Motzkin路径之间的双向投影如下：弦的左端对应U阶跃，弦的右端对应D阶跃，“自由”标记点对应H阶跃。例如，本文图3中的最后一个图是由UUHHDDUHHD-Motzkin路径编码的。众所周知，2n-gon粘附到球体中的数量是第n个加泰罗尼亚数，因此平面多边形粘附和Dyck路径之间存在双射。这与你提到的关系基本相同。