R树的等变调和映射与Korevar-Schoen收敛

Question

感谢您花时间回答以下问题。

我想举一个明确的例子来说明科雷瓦尔·肖恩（Korevar-Schoen）的趋同。我面临的问题是，在下面我希望考虑的示例中，我找不到调和映射的极限。我正在做的过程主要遵循[1]。

设$M=S^1乘以S^2$，考虑双曲3-空间$X_k=\mathbb{H^3}=\{（X_1，X_2，X_3）\vertx_3>0}$$$d_｛\mathbb｛H^3｝｝＝\frac｛dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2｝｛x_3^2｝$$表示$\rho_k:\pi_1（M）\rightarrow SL（2；\mathbb{C}）$是$$\rho_k（1）=\begin{bmatrix}&0（&0）\\0&\压裂{1}{k}\结束{bmatrix}$$在我们需要使用的情况下，$\rho_k（1）$对$\mathbb{H}^3$的作用是$$\rho（1）（0,0，x_3）=（0,0,k^2x_3$$

通过Donaldson的一个定理，我们可以从$M$到$mathbb{H}^3$的普适覆盖中找到满足关系$u_k（\alphax）=\rho_k（\ alpha）u_k（x）$（$\alpha$这里是$\pi_1（M）$中的一个元素）的等变映射$u_k$。在我考虑的情况下，我们可以构建以下调和图：\开始{align}u_k:&\mathbb{R}^1\乘以S^2\longrightarrow\mathbb{H}^3\\&（t，x）\longmapsto（0,0，e^{C_kt}）\结束{对齐}这里，$C_k=2\ln-k$是一个与k相关的常数。根据这个定义，$u_k$是等变映射。$u_k$是调和的原因是从$S^2$到$\mathbb{H}^3$的唯一调和映射是常量，而$u_k$的图像是测地线。我为这张图计算的能量是$E（u_k）=C_k^2$。

根据[1]的定理3.1，如果我们定义$\hat{d}_｛\mathbb｛H｝^3，k｝=d_｛\mathbb｛H｝^3｝$，我们有重新缩放谐波映射$u_k:\widetilde｛M｝\rightarrow（\mathbb｛H ^3｝，\hat{d}_{\mathbb{H}^3，k}）$到映射$\widetilde{M}\rightarrowT$，其中$T$是$\mathbb{R}$-树。

问题：
这是我的目标：我希望明确知道这种情况下的限制。

我的问题是，当我尝试使用[2]中的定义时，我认为我考虑的示例中不存在Korevar-Schoen限制。因为当$k$趋于无穷大时，固定$t$的$\frac{e^{C_kt}}{C_k^2}$将收敛到无穷大。我不知道我在哪里犯了错误。也许我构建的地图$u_k$不是调和的？

[1] G.Daskalopoulous、S.Dostoglou、R.Wentworth、，R树的特征簇与调和映射，arXiv:math/9810033v1

[2] N.Korevar、R.Schoen、，非局部紧空间调和映射的整体存在性定理，通信分析。几何。5（1997），第2期，213-266

Answer 1

$u_k$函数的Korevar-Schoen极限如下所示

\开始{方程式}\mathbb{R}^1\times S^2\rightarrow\mathbb}R}^1\\（t，x）\右箭头（0,0，t）\结束{方程式}

[1]的基本部分是，我们对调和映射的能量函数进行了点态界。

引理[3]：设$\Omega\subseteqM$是具有紧闭包的区域。对于任何紧集$K\subsetq\Omega$，存在一个仅依赖于$K、\Omega$和M的度量g的常数C，因此对于任何非正曲率的完备流形N和任何调和映射$u:\Omegan\rightarrow N$，我们有界$sup_K e（u）\leq cE_{\Omego}（u）$$e（u）$是u的能量密度，e（u）是u的能源。

定义度量$\tilde{d_k}:=\frac{d_{\mathbb{H}^3}}{E（u_k）^{\frac}1}{2}}$和度量$\hat{d_k{（x，y）=\tilde}d_k}（u_k（x），u_k（y））$，我们在$\widetilde{M}$上得到一个度量，Korevar-Schoen收敛是关于$\hat{d_kneneneep$的逐点收敛。$\hat{d_k}$存在极限的原因是，通过使用引理，我们立即知道$\hat{d_kneneneep（x，y）\leq d_{widetilde{M}}（x，y）$（如[1]的定理3,1所示）。因此，$\hat{d_k}（x，y）$有一个子序列，它是逐点收敛的。

在这种情况下，$u_k（t，x）=（0,0，e^{C_kt}）$，$\hat{d_k}（（t1，x_1），（t2，x_2））=t1-t_2$。当k趋于无穷大时，$\hat{d_k}$收敛到距离函数$d_{\infty}（（t1，x_1），（t2，x_2））=t1-t_2$。因此，Korevar-Schoen的$u_k$限制为\开始{方程式}\mathbb{R}^1\times S^2\rightarrow\mathbb}R}^1\\（t，x）\右箭头t\结束{方程式}

感谢多斯托格鲁教授对他们论文的重要观点的友好回复。

[1] G.Daskalopoulous，S.Dostoglou，R.Wentworth，R树的特征多样性和调和映射，arXiv:math/9810033v1

[2] N.Korevar，R.Schoen，非局部紧空间调和映射的整体存在定理，Comm.Ana。几何。5（1997），第213-266号

[3] R.Schoen，调和映射在刚性和变形问题中的作用。在《复杂几何》，179-200年，《纯粹数学和应用数学讲义》，第143卷，马塞尔·德克尔，纽约，1993年