平方塔序列划分线性递归A001921序列？

Question

让$（a_n）$成为A001921年序列

$$a_0=0，\a_1=7，\四a{n+2}=14a{n+1}-a_n+6。$$

设$（b_k）$是（几乎）由

$$b_0=2，\四边形b_｛k+1｝=2b_k^2-1$$

$a_{2^kn+2是真的吗^{k-1}-1}$总是可以被整除$b_k$，对于任何$k，n\geq 0$？

我已将此项检查到$k=6$。例如：

• $a_{2n}$总是可以被$b_0=2$整除。

• $a_{4n+1}$总是可以被$b_1=7$整除。

• $a_{8n+3}$总是可以被$b_2=97$整除。

• 等等：$a_{128n+65}$总是可以被$b_6=20119308338705180114178280510597$整除。

  这是一个来自MSE的横杆问题.

Answer 1

序列的元素是$$a_n=\left（\frac{\alpha^n-\beta^n}{2\sqrt{3}}\right）\left$$其中$\alpha=2+\sqrt{3}$和$\beta=2-\sqrt}$。注意，这两个因子都是整数。我们也可以计算$$b_n=\frac{\alpha^{2^n}+\beta^{2$n}}{2}$$现在，您的声明$b_k$总是将$a_{2^{k+1}n+2^k-1}$除以以下事实$\frac{\alpha^{2^k}+\beta^{2|k}}{2}$除以$\frac{\alfa^{2$k（2n+1）}+\beta^{2 ^k（2n+1）}}{2}$，这很容易检查（比率是$\alpha、\beta$中的多项式，两者对称）。