Calabi-Yau流形的两种定义

Question

为什么紧Kahler流形的积分第一Chern类的消失等价于正则丛的平凡？我可以看出，这意味着规范丛必须是拓扑平凡的，但不一定是全态平凡的。为了在正则丛上产生平连接，证明等价性是否需要Yau定理，或者是否有更初等的证明？

Answer 1

我找了一会儿证据它没有使用Calabi-Yau定理似乎没有人知道。

此外，还有很多非凯勒正则丛平凡流形作为全纯的拓扑和非平凡束（Hopf曲面是最简单的示例）。

这个论点实际上使用了Calabi-Yau定理，Bochner消失，Berger分类完整性和Bogomolov分解定理。

从Calabi-Yau定理可以推断出存在Ricci-flat-Kaehler度量。因为里奇曲率是曲率这意味着规范束承认平坦连接。

当然，这并不意味着它是平凡的全形；实际上，正则束在Hopf曲面上是平坦的在恩里克斯表面上不卡拉比-尤。

然而，对于Calabi-Yau流形，众所周知，阿尔巴尼亚地图是局部轻微的纤维有Calabi-Yau纤维第一个Betti数字。使用Bochner的消失定理所有全纯1-形式都是平行的。

现在，通过附加公式，您可以证明总空间的正则束为微不足道，如果它对于基础和光纤来说微不足道。底座是圆环，纤维是Calabi-Yau$H^1（M）=0$。对于后者，琐碎从Bogomolov的分解定理，因为Calabi-Yau流形是有限商简单Calabi-Yau流形的乘积和具有完整性的hyperkaehler流形$SU（n）$和$Sp（n。Bogomolov分解本身就是一个非平凡的结果，并且（在这个普遍性中）我认为只能从伯杰的分类。Bogomolov的原始证据是基本的，但他假定全纯的琐碎我们正试图证明一个正则束。

这个论点极其复杂；也，在非凯勒的情况下，这显然是无用的（在许多其他有趣的情况下）。我对任何尝试都很感兴趣来简化它。

更新：就在我写回信的时候，德米特里发布了博戈莫洛夫文章的链接，其中他证明了规范丛的某些幂是总是琐碎的，不使用Calabi-Yau定理。

Answer 2

似乎值得指出的是，紧Kahler流形的积分第一Chern类的消失并不意味着正则丛是全形平凡的。它只意味着它是扭转，即一些正倍数是全形平凡的，正如米沙和德米特里所指出的（博戈莫洛夫论文的英文版本是在这里).

一个例子是，$c_1（K_M）$在积分上同调中消失，而$K_M$不是全形平凡曲面（复数$2$-环面的有限未分类商），在这种情况下，$12K_M$是平凡曲面。例如，在这篇论文李天军，备注6.4（另见McDuff-Salamon的论文[30]）。

Answer 3

你可以不用Yau定理证明正则束是扭转的。这包含了Bogomolov的以下工作，定理3'

F.A.Bogomolov，“具有平凡正则类的Kaöhler流形”，伊兹夫。阿卡德。Nauk SSSR序列。材料，38:1（1974），11-21

（在这个答案的第一个版本中，我说包是微不足道的，但Bogomolov表示，正如Misha指出的那样，这是扭转。

这是在线提供的俄语版本

http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml？jrnid=im&paperid=1889&volume=38&year=1974&issue=1&fpage=11&what=fullt&option_lang=eng

Answer 4

免责声明

这决不是一个答案，而是对这个问题的重新表述。

指数层序列是理解为什么线团被第一类Chern平滑地分类（因而在拓扑上）的一种方法$$\开始{矩阵}0&\longrightarrow&\mathbb{Z}&\longlightarrow&\mathcal{E}&\stackrel{\mathrm{exp}}{\longritarrow}&\matchal{E{^\times&\longhrightarrow-0\结束{矩阵}$$其中$\mathcal{E}$和$\mathcal{E{^次$分别是平滑函数和非均匀平滑函数的带轮。层$\mathcal{E}$是罚款的，因为存在单位光滑分割，其中$H^{p\geq1}（M，\mathcal{E}）=0$。这导致上同调中的长精确序列产生同构$H^1（M，mathcal{E}^times）\congH^2（M，mathbb{Z}）$（第一个Chern类），它表示当且仅当光滑线束的第一个Chern-class消失时，光滑线束才是平凡的。

对于全纯线束，情况更为复杂。现在是指数层序列$$\开始｛矩阵｝0&\longrightarrow&\mathbb{Z}&\longlightarrow&\mathcal{O}&\stackrel{\mathrm{exp}}{\longritarrow}&\mathcal{O}^\times&\longhrightarrow&0\结束{矩阵}$$其中$\mathcal{O}$和$\mathcal{O{^次$分别是全纯函数和非全纯函数的带，由此产生了长精确上同调序列的以下片段$$\开始{矩阵}H^1（M，\mathcal{O}）&\longrightarrow&H^1\结束{矩阵}$$其中皮卡德集团$H^1（M，\mathcal{O}^次）$将全纯线束分类为同构和$$H^1（M，\mathcal{O}^\次）\longrightarrow H^2（M，\ mathbb{Z}）$$又是第一节Chern课。

因此，如果全纯线丛的第一个Chern类消失，那么它在Picard群中的类必须来自$H^1（M，\mathcal{O}）$。因此，需要表明映射$H^1（M，\mathcal{O}）\到H^1。

这需要对卡拉比猜想的证明进行严格分析吗？

我不确定。

Answer 5

我相信答案是肯定的，这需要姚的定理。相反，我认为你的问题可以用一种与姚的定理等价的方式表述。

我对Yau证明的定理的理解是，拓扑条件（积分第一Chern类的消失）足以保证某个几何结构（Calabi-Yau度量）的存在。有几种等效的方法可以说明Calabi-Yau指标是什么，但就本文而言，我认为最好的方法是通过完整群.

给定黎曼流形，可以定义沿流形中路径的并行传输。给定流形中的一个点，您可以查看基于该点的所有环路上的并行传输。将这些组合在一起，得到正交群$O（T_xM）$的一个子群。如果子群包含在$U（n）$的副本中，那么流形就是Kahler流形（我指的是在我们选择了一些标识$O（T_xM）=O（2n）$之后，与标准$U（n-子集O（2n-）$副本共轭的子群）。如果完整性包含在$SU（n）$的副本中，度量就是Calabi-Yau。从完整性的观点（即沿环的平行输运）来看，很明显，具有Calabi-Yau度量与具有全形平凡正则丛是一样的。如果我记得正确的话，Yau的定理使用了一个困难的分析论点，它表示拓扑条件实际上足以找到这样一个度量。