如何看待tannakian基本群的几何和算术？

Question

etale基本群是有限etale覆盖的自同构群的逆极限。我们可以从etale覆盖很好地看到etale基本群的几何结构，就像拓扑基本群一样。但tannakian基本群被定义为张量范畴的纤维函子的自同构，这对我来说是抽象的定义。

我想问，如何看待tannakian基本群的几何？

第一个etale上同调和前优能基本群之间的关系是什么？

我想补充一下我的问题。如果我们考虑赋值环为$R$的局部域$K$上的双曲线$X$，则在etale基本群$\pi_{1}（X）$上存在$G_{K}$的自然伽罗瓦作用（即外伽罗瓦动作）。从这个外部伽罗瓦作用中，我们可以理解$X$的一些几何及其约化。例如，对于亲$1$基本群（Oda、Tamagawa），有一个很好的约简标准。

我的问题是：Tannakian基本群是否存在类似的Galois作用或准则？或者Tannakian基本群是否存在一些anabelian型定理？

Answer 1

一种观点是，tannakian基本群只是常用基本群的加厚。它是基本群（自同构群）图像的Zarisk闭包的逆极限，覆盖基本群（lisse滑轮）的所有连续表示。另一方面，基本群是其图像所有连续表示的逆极限。所以tannakian基本群是一种Zarisk闭包。

编辑：On总是可以将etale基本群恢复为Tannakian基本群的最大profinite商。使用与代数上完全相同的方法，可以将Tannakian基本群拆分为几何和算术部分，从而得到几何基本群上的Galois作用。因此，我们可以从Tannakian群中恢复关于合成埃利亚几何中使用的基本群的所有数据。

Answer 2

为了回答您的第二个问题，对于任何幂零中性Tannakian范畴$\mathcal{C}$（即其中每个对象都是单位对象$\underline{1}$的迭代扩展），以及纤维函子$\omega$和相关的pro-unipotent群方案$G=G（\mathcal{C}，\omega）$，都存在同构

$\mathrm{Lie}（G^\mathrm{ab}）^*\cong\mathrm2{Ext}^1_\mathcal{C}（\underline{1}，\underline{1}）$

所以在我们的例子中，将$\mathcal{C}$作为unipower lisse$\mathbb的范畴{问}_\在特征为$\neq\ell$的代数闭域上，我们可以将第一层上同调恢复为原幂次基本群的阿贝尔化的对偶，正如我们可以从Hurewiz定理中预期的那样。