数学中的三角学

Question

补充。感谢所有参与的人！让我谦恭地向那些对此感到恼火的人道歉（这是可以理解的），我认为这不过是徒劳的尝试。如果你认为这个问题（如果有道理的话）应该局限于双曲线-抛物线-椭圆细分的有趣表现，那么我完全同意（尽管部分想法是按照你认为合适的方式解释这个问题）；我之所以让它开放，主要是因为韦尔三分法，这是一种完全不同的类型，远远不止是一种等级制度，我对听取其他人的意见和阐述感兴趣。例如，看看爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）如何在一次引人入胜的布尔巴基（Bourbaki）演讲中，以威尔（Weil）三分法为基础，在兰兰兹（Langlands）和电磁二元论（electro-magnetic diumbities）之间引入一种平行，他将其作为进入几何兰兰兹项目舞台的物理学思想的跳板。或者以基本三维（从etale上同调的观点来看）物体及其分支覆盖物之间珍贵的三边平行线为例：$\mathbb｛P｝_{\mathbb{F} （_q）}^1$、$\mathrm{Spec}（\mathbb{Z}）$和$S^3$，数字字段中的素数对应于三倍的结，$\log{p}$对应于双曲线长度，等等。

对于那些不相信代数曲面有一个简洁的三分法的人（他们认为应该用Kodaira维来形成四分法），更不用说在高维代数几何中了，我在这里引用了Sándor Kovács的答案，它相当雄辩地证明了双有理几何的基本三分法：

具有（反）充分正则丛的光滑投影变种的“频率”如何？

原始帖子。从许多目的来看，尤其是在分类层次结构或Weil关于数学基本统一性的“大图”中，似乎用三分法比用双边词典或“要么”问题更准确地捕捉数学现实。当然，最基本的是三分法消极的-零-积极的由完整的有序字段$（\mathbb{R}，<）$---这是时间之箭，如果你愿意的话，或者是一个动态系统进入过去/现在/未来状态的调节。正如下面的一些例子所证明的那样，这种三分法是数学中各种各样的分类方案的基础，尽管是粗糙的。

其他三分法是由对一个数学类比进行更仔细的检查而产生的。数学家总是喜欢通过类比发现；他们非常重视不同但松散连接的领域提供的直觉。在这样做的过程中，他们受到了一种默契的、柏拉图式的数学基本统一信念的指导。一个例子是有限几何与黎曼曲面之间的相似性。为了解释这种平行关系，实际上为了理解它，有必要在字典中提供一个“中间列”：数字域和算术曲面的算术几何。这导致了三分法，韦尔在给他的姐姐、哲学家西蒙·韦尔的一封信中如此清晰地解释了这一点（1940年他因拒绝参军而在狱中写了这封信）。正如我们所知，这种观点导致了数学研究的一个全新领域。

下面我列出了一些其他珍视的数学三角学。我还想看看其他的，也许更专业的。这个是我的吗问题:在列表中添加更多三叉肌此外，我对任何人可能有的任何想法都感兴趣，例如与以下任何问题有关的想法。3是粗分类方案中最普遍的数字吗？公平地说，给定的三分法与原始三分法$（-，0，+）$相呼应吗？在给定的三分法中，对应的三面词典是否有一个自然的“中间列”？这个“中间专栏”是最基本、最有趣还是最难以捉摸的？

数学中的三角学：一些例子。

• 拓扑、几何和分析的结构是实线$\mathbb{R}$。塔斯基的八个公理用完整的二进制总阶<、二进制运算+和常数1来描述它。（乘法是在之后出现的——这是由Tarski的公理所暗示的——布尔巴基对实数的定义也是如此这个完整的有序字段）。这些公理衍生出的符号三分法$（<，=，>）$和$（-，0，+）$在整个数学中都有影响。

• 例如，有三个常曲率空间，导致三个最大对称几何体：双曲线、平面（或欧几里德）和椭圆（例如球面形式）。

• 局部对称空间分为三种类型：非紧型、平坦型和紧型。

• 在复杂分析中，有三个简单连接的布：Riemann曲面$\Delta$、$\mathbb{C}$和$\hat{mathbb}C}$。

• 紧致黎曼曲面的共形自同构群的连通分量是以下三个之一：琐碎的，$S^1 \乘以S^1$，$\mathrm{前列腺素}_2（\mathbb{C}）$。

• 基本群的复杂性，首先由拓扑曲面表现出来：真正的非阿贝尔人（也许我们可以说：阿纳贝利亚人）-阿贝尔（或者更一般地说，包含有限指数幂零子群）-和琐碎的（或者更普遍地说，有限的）这当然与Lee Mosher的答案提出的有限生成群的增长主题有关。

• 在动力学中，一个固定点（或周期循环）可以是排斥的、无关紧要的或吸引的。

• 在瑟斯顿关于表面同胚的工作中，映射类群的元素根据动力学被分为三种类型：伪阿诺索夫、可约和有限阶。

• 在代数几何中，正则丛的正性是分类和最小模型问题的核心。更一般地说，正性是代数几何的一个显著特征。有关令人愉快的讨论，请参阅科勒对拉扎斯菲尔德著作《代数几何中的正定性》的评论。（《公牛杂志》，第43卷，第2期，第279-284页）。最基本的例子是代数曲线的三分法（有理、椭圆、一般类型）。

• 在双有理代数几何中非常粗略地说，有三种类型的流形构成了一般的流形：有理曲线、Calabi-Yau流形和一般类型的流型（如果你喜欢，也可以是双曲线类型）。例如，代数曲面要么：1）允许一束有理曲线；或2）允许椭圆曲线束或是阿贝尔曲线或K3（或K3的双商）；否则3）它是通用型的。阿贝尔（Abelian）和K3公司是Calabi-Yau流形的示例。

• 更具体地说，考虑光滑超曲面$X\subset\mathbb{P}^n$。根据学位$d$与维度的比较，他们分为三种类型。如果$d\leq n$，那么它们包含大量的有理曲线（当然有无数）。如果$d=n+1$，则它们是Calabi-Yau流形的一个示例，并且通常情况下包含可数无穷多条有理曲线。（给定次数的有理曲线数的生成函数是一个非常有趣的函数，在量子引力物理学中具有重要意义。）如果$d\geq n+2$，那么$X$是一般类型的，并且它被推测为通常情况下只包含有限多条有理曲线。（更准确地说，Bombieri和Lang推测，一个一般类型的变种只包含有限多个非一般类型的极大子变种）。

• 在丢番图几何中，有理点应该来自有理曲线和阿贝尔变换。零星的例子被认为是有限的。这导致了有界（大，即指数）高度的有理点数量增长率的以下三分法：多项式增长-对数增长-$O（1）$。此外，即使在维度1中，阿贝尔变种的情况也是最深刻和最神秘的。

• 在拓扑学中，有趣的维度似乎分为三个性质不同的范围：$d=3$、$d=4$和$d\geq5$。（尽管这可能会让它有点过度拉伸）。其中，四个维度——“中柱”——是最神秘的，也是与物理学最相关的。

• 当然，“Weil三分法”至少可以追溯到Kronecker和Dedekind：曲线$\mathbb美元{F} （_q）$ -数字字段-黎曼曲面阶级场理论和川川理论是这种三分法的有力例子。另一个例子当然是zeta函数和黎曼假设。

• 人们会试图将后一种三分法扩展到[非阿基米德世界（$p$-adic，profinite）-全局算术-阿基米德世界（几何、拓扑、复变量）]如果中间的圆柱不包含（大部分）侧翼圆柱。同样，三重[$l$-adic上同调动力Hodge结构]可能不会被接受。这里有一个关于主题的变体（你可能会发现它是垃圾，在这种情况下，把它扔掉）。有两种方法可以完成（或限制）规则多边形$C_n$。第一种方法是将$C_n$想象为$\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb2{Z}$，并取直接限额（在这种情况下，工会或合成：$\rightarrow$），即$\mathbb{Q}/\mathbb2{Z}$。完成后，我们得到了圆$S^1=\mathbb{R}/\mathbb2{Z}$，这是最简单的流形。第二种是将$C_n$视为$\mathbb｛Z｝/n$，并取投影极限（或解构：$\leftarrow$），即$\hat{\mathbb{Z}}=\prod_p\mathbb{Z} （p）$，圆圈的定义版本。这样，阿基米德（连续）对象和$p$-adic对象可以被视为相同的有限对象。将$C_n$作为更一般的有限群，我们得到基本上一方面，所有的李群；另一方面，还有所有的亵渎集团。

• 当然，我们生活在三个可感知的空间维度中并不符合我们的要求。但在1984年，马宁发表了一篇文章（“几何学中的新维度”），在这篇文章中，他以数论（阿拉克洛夫几何）和物理学（超对称）的思想为指导，提出存在三仿射超模式$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x_i；\xi_j]$是“局部由$\mathbb{Z}/2$-分级超交换环所环的拓扑空间范畴的对象”。这里，$\xi_j$是“奇数”反交换变量，与“偶数”变量$x_i$交换。请参阅他在“三个空间-2000”的图片中的三个坐标轴$x、\xi$和$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$。算术轴$\mathr{Spec}\ mathbb}Z}$在复杂代数几何中是隐式的，在诸如Ax-Grothendieck定理和Fano流形中有理曲线的构造等问题中是必不可少的。

• 在线性群理论中，宽松地说，有一个三分法：$\mathbb{G} _米$（线性复曲面）-半单形-$\mathbb美元{G} _（a）$（万能）.

• 代数群：还原的-阿贝尔变种-单电位的特别是一维群的分类：$\mathbb{G} _米$-$E$-$\mathbb{G} _（a）$. (谢谢，Terry Tao！)

• 变量：中间可交换的代数群，有：乘法类型-阿贝尔变种-加法类型（unipower）.

• $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$和$\mat血红蛋白{H}$是连续统上唯一的有限维结合除代数。(谢谢保罗·雷诺兹、特奥·B和萨姆·勒沃伦！)

• 物理学最基本的偏微分方程：波动方程(双曲线的)-热量和薛定谔方程(抛物线)-拉普拉斯方程(椭圆形). (谢谢Alexandre Eremenko！)

• 无限有限生成的组有$1,2$或$\infty$个ends。(谢谢shane.orourke和Artie Prendergast-Smith！)

• 随机游走可以是暂时的、空循环的或正循环的。(谢谢Vaughn Climenhaga！)

• Zeta函数可以通过动态（Artin-Mazur）实现；$\mathbb{Z}$上有限型格式的算术（Riemann和Hasse-Weil）；和几何（双曲曲面的Selberg zeta函数）。

• 在模型理论中，超稳定理论、严格稳定（稳定但非超稳定）理论和非稳定理论之间有一个重要的三分法。

• 可以公平地说，有三种三维简单连接空格：$\mathbb｛P｝_{\mathbb{F} （_q）}^1$，$\mathbb{Spec}（\mathbb{Z}）$在阿基米德无穷大处压缩，$S^3$。这就产生了Mazur knoty字典以及素数和结（尤其是双曲结）之间富有成果的类比。

Answer 1

实际上，数学中的几乎所有东西都可以是“双曲线”、“抛物线”或“椭圆”。像PDE、黎曼曲面或高维流形、分数线变换、映射的不动点等。

甚至没有提到三种圆锥截面：-）

当然，这可以追溯到基本的“积极”、“零”和“消极”三分法。

在微分几何中，我们有三大领域：“正曲率”，“负曲率”和“零曲率”。

另请参见：

罗伯特·斯特里哈特兹。数学领域：椭圆、双曲线、抛物线、亚椭圆。数学。Intelligencer 9（1987），第3期，56–64页。

Answer 2

拓扑空间中的每个集合将空间划分为三个部分：内部、边界和外部。

Answer 3

有限、可数和不可数。

这是我们对基数的三个区别。对大多数人来说，uncountable通常意味着$2^{\aleph_0}$。但即使对集合理论家来说，给定一个ZFC模型，有限集也是有限的，可数集是可数的，其余的都是疯狂的。

用序数$\kappa$子集的拓扑测度理论性质代替基数，存在非平稳集（小）；固定装置（大，但不要太大）；和俱乐部（这几乎是一切）。

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$^*$很好疯狂！就像没有猫的微笑。

Answer 4

在$\mathbb R$上有三个有限维的结合除法代数：$$\mathbb R，~~mathbb C，~~mathbb H$$

保罗·雷诺兹的回答中也提到了这一点。

阿诺尔认为这是一个特别基本的三分法，在他的书《阿诺尔的问题》中，他有一个有趣的“相关”三分法表（为撇号灾难感到抱歉）。这是我几年前上传的一张照片：

阿诺尔的桌子

我想知道这些三元组是否与$（-1,0,1）$属于同一个“家族”。起初，它们似乎不同，因为没有类似于$0$的独特元素，但也许$\mathbb C$扮演了这个角色？我认为有三个除法代数的证明可能实际上使用了$（-1,0,1）$三分法，但我现在没有时间考虑它-也许有人可以留下评论来证实这一点？(编辑：我还可以想象$\mathbb R$扮演$0$的角色，因为它是张量积的单位元，例如，有什么意见吗？）

我发现另一个有趣的问题，我希望在某个时候考虑一下，以获得乐趣，它不仅要求在数学分类中出现（相关的）三元素集，而且更广泛地要求出现$n$-元素集的相关情况，以获得小$n$。例如，我一直梦想着取规则柏拉图立体的数字$5$，并尝试从中推导出尽可能多的其他“小的、有限的数分类”。

Answer 5

1. 在必要时传递到子序列后，实数序列（a）收敛到实数；（b） 偏离到$+\infty$；或（c）偏离$-\infty$。类似地，正实数序列（a）收敛到正实数；（b） 偏离到$+\infty$；或（c）偏离至$0$。在非标准分析中，这些三分法成为有界、负无界或正无界的三分法，或是无穷小、无界或两者都不是（即既有界又有界远离零）。当然，这些是基本$（-，0，+）$三分法的变体。

2. 到同构为止，代数闭域上只有三类（连通的）一维代数群：域的加法群、域的乘法群和域上的椭圆曲线。（这最后一个家族肯定是“中间一列”。）这当然与前面提到的许多其他三角肌症有关。在黎曼曲面方面，它来自于这样一个事实：对于某些离散子群${\bf C}$的$\Gamma$，所有一维连通复群都同构于${\bf C}/\Gamma，它们可以具有秩0（加法情况）、1（乘法情况）或2（椭圆曲线情况）。

3. 如果以正确的方式斜视它，那么有限单群的分类是一个三分法：循环、Lie型（包括Lie over F_1，即交替群）或偶发。（当然，它可以用很多其他方法进行切片这个维基百科列表例如，将使其成为四甲切开术。）有时，从概念上讲，将大型李型群划分为三个区域是有用的：特征大但秩有界；大秩但有界的特征（包括交替群）；特点大，等级高。（或者，可以划分为有界秩、交替秩和无界秩。）人们可以争论这些类别中的哪一个是“中间列”。

4. 如果$\xi_1、\xi_2、\xi_3$是三个频率，其中$\xi_3=\xi_1+\xi_2$，则我们有Littlewood-Paley三分法：（a）与$|\xi_1|\gg|\xi_2|$和$|\xi_1|\sim|\xi_3|$的“高-低”相互作用；（b） 与$|\xi_1|\ll|\xi_2|$和$|\xi_2|\sim|\xi_3|$的“低-高”交互作用；和（c）与$|\xi_1|\sim|\xi_2|$和$|\xi_1|\gg|\xi_3|$的“高-高”相互作用。（必须仔细划分这三种可能性之间的界限，以确保它是真正的三分法。）对于代数几何学家来说，这将反映出阿米巴虫集合$\{（\xi_1，\xi_2，\xi_3）的：\xi_3=\xi_1+\xi_2\}$。这种三分法在调和分析和偏微分方程中很重要，特别是在乘积和副乘积的反微分计算中（参见例如。我的这篇博客帖子). 通常，三种相互作用中的一种将是最主要的，反映出高到低频的级联或低到高频的级联，但这在很大程度上取决于情况。注意，这个三分法基本上是$（<，=，>）$三分法的变体。

5. （稍后添加）$（<，=，>）$三分法的另一种变体：半线性偏微分方程（或更准确地说，半线性偏积分方程）的最基本示例问题（例如某个函数空间中的初值问题）可以分为次临界、临界或超临界，这取决于PDE的非线性分量是“弱于”、“可比”还是“强于”线性分量处于适当的渐近极限（通常是精细尺度/高频极限，但对于散射理论，粗尺度/低频极限是相关的）。这种区分（通常可以通过缩放分析或量纲分析进行精确区分）通常在确定PDE问题的难度级别时起决定性作用。例如，3D Navier-Stokes的正则性问题是超临界的，因此被认为几乎是棘手的，但2D Navier-Stokes是关键的，几十年前就已经解决了。Ricci流的全局分析（带手术）被认为是超临界的，直到Perelman发现了新的单调量，这使得它变得至关重要，这对于Perelman能够执行Hamilton程序的其余部分并解决庞加莱和几何化猜想是绝对必要的。在这种三分法中，临界（或尺度不变）情况通常被视为最有趣和微妙的情况，一些非常好的数学工具开始发挥作用，以控制不同尺度之间的相互作用。也许还应该指出，这种三分法与椭圆/抛物线/双曲线三分法是正交的，它只涉及PDE的线性分量，而不涉及非线性分量，文献中研究了所有九种组合（临界椭圆PDE、超临界抛物线PDE等）。

6. （稍后添加）在分析中，基本上有三种情况可以阻止某些函数空间中函数的弱收敛序列$f_n$在该空间中强收敛：（a）逃逸到“水平无穷大”（基本上，函数的支持跑向空间无穷大，即移动凹凸型示例）；（b） 逃逸到“垂直无穷大”（函数的峰值到无穷大，例如一系列近似恒等式弱收敛但不强收敛到δ函数）；和（c） 逃逸到“频率无穷大”（函数变得越来越振荡）。如果可以关闭所有三种逃逸模式，则可以恢复强收敛性，从而恢复强（预）紧性，参见Arzela-Ascoli定理，该定理有三个假设（紧域、点有界性、等度连续性），分别关闭（a）、（b）和（c）。在《丧失留置权》第2.9节中，这三种情况分别被称为“飘向无限远”、“爬上喷口”和“震荡至死”。

Answer 6

实域上的每一个线性方程组要么没有解，要么只有一个解，要么有无穷多个解。

Answer 7

一个简单但有用的方法是：紧致李群的不可约复数表示可以是“实”、“四元数”或“复数”。也就是说，它是实不可约的复化，或者它可以通过存在与$-I$平方的等变共轭线性（实）自同构$j$来被视为四元数，或者两者都不是。

该陈述结合了舒尔引理和存在三个结合实除法代数的事实，在这里通过复眼可以看到。

Answer 8

有限维代数的表示类型可以是有限的、驯服的或野生的。这是德罗兹的一个定理。

Answer 9

让我指出，弗拉基米尔·阿诺德对类似问题很感兴趣。他把这个科目称为“数学三位一体”，例如见他的论文“辛化、复杂性和数学三位一体”据我记忆所及，从他的讲座中，他的想法这些“三位一体”中的许多实际上是相互关联的；而且他也被视为发明理论的工具：见已引用的问号“阿诺德的桌子”：jpg格式.

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让我也提一下我自己的研究中出现的一些“三位一体”卡佩利身份（它们是det（AB）=det（A）det（B）的一些非交换类似物）。

矩阵三位一体-a）泛型b）对称c）反对称

以下是卡佩利（以及相关的凯利）身份中的情况：

a） 泛型矩阵——最初的卡佩利恒等式是由卡佩利在19世纪发现的——它是用于“泛型矩阵”$a=x{ij}$$B=\partial{ji}$

b）对称矩阵-卡佩利恒等式的模拟大约在1940年被Turnbull发现，这里$A=（x{ij}+x{ji}）$$B=\partial{ji}+\partial{ij{$。

c）反对称矩阵-模拟由Howe-Umeda和Kostant-Sahi于1990年左右发现，此处$A=（x_{ij}-x_{ji}）$$B=\部分{ji}-\部分{ij}$。

Cayley恒等式也有类似的推广：a）归因于Cayleyb） Garding 1948 c）Shimura 1984-见arXiv：1105.6270获取相当完整的信息。

我的问题真的是三位一体吗？或者你可以提出一些类似Cayley-Capelli的其他矩阵，比如“辛矩阵”？

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这可能很奇怪，但其他三位一体如R、C、H也出现了在卡佩利的故事中，他们赋予了不同的身份。此外，三位一体可以结合，我们可能会得到三位一体。。。

事实上，卡佩利恒等式的H型模拟仅在矩上是不完全为人所知的最近R.Borcherds的学生发现了1x1矩阵的模拟，安煌看了这个例子，我提出了一些类似于卡佩利身份事实上，所有泛型/对称/反对称都可以被复杂化，希望存在四元数类似物，因此我们可能有三位一体。一些部分三位一体的结果，凯利身份所包含的三位一体精神。引文。

有一些类似的经典李代数的Capelli恒等式:这可以被视为gl/so/su三位一体，很可能在某种严格意义上不是三位一体。我不知道我们能不能有三位一体的东西。。。

Answer 10

无限有限生成群$G$具有1、2或无穷多个端点；最后一种情况相当于通过Stallings定理将$G$分解为有限子群上的合并自由积或HNN扩张。（当然，假设$G$是无限的，这就意味着地毯下面有第四种可能性，即末端的数量为零。）

Answer 11

节点可以是圆环、卫星或双曲线。

Answer 12

在代数拓扑中，序列$$\text{普通上同调}，\qquadK\text{-理论}\文本{椭圆上同调}$$与代数群分类中的三分法（$\mathbb G_a$，$\mathbb G_m$，椭圆曲线）非常相似。

Answer 13

每个有限生成群都是多项式增长、中间增长或指数增长。

作为一种说法，这并没有什么，唯一的数学内容是，每个有限生成群的增长函数都有一个指数上界。

但作为一种对有限生成群进行分类的方法，它已经取得了非常丰硕的成果：关于多项式增长群的Gromov定理；源自格里戈楚克最初构建的中间增长群体的极其丰富的理论；以及出现了丰富的指数增长类群，如双曲线群。

Answer 14

椭圆曲线$E$模素数${mathfrak p}$的约简（特殊纤维）$E_{mathfrak p}$是以下其中之一：

1. 良好约简=稳定约简=$E_{mathfrak p}$是非奇异的
2. 乘法约简=半稳定约简=$E_{mathfrak p}$是乘法群乘以有限群的乘积
3. 加性约简=不稳定约简=$E_{mathfrak p}$是加性群乘以有限群的乘积

当然，这种三分法反映了这样一个事实，即只有三种连通的一维李群，即加性群、乘性群和紧情形（椭圆曲线）。

Answer 15

适当的$CAT（-1）$空间的每个等距都是椭圆、抛物线或双曲线：椭圆意味着固定一个有限点；双曲均值固定由平移轴连接的两个无限点，等效平移距离为零；抛物线表示平移距离限制为零，但没有固定点。对于适当的Gromov双曲空间，甚至对于不适当的情况，如果您愿意“拟化”这些情况的陈述，并且如果您愿意让三分法退化为二分法，也有不同的版本。

Teichmuller空间的每个等距都是椭圆、抛物线或双曲线。这是Bers对映射类的Thurston三分法的形式：有限阶、可约、伪阿诺索夫。通过Masur和Minsky的一个定理，该三分法还可以解释映射类群在曲线复合体上的作用，曲线复合体是一个非恰当的Gromov双曲空间。

对于秩$n$自由群的外自同构群$Out（F_n）$的元素，存在着Bestvina、Feighn和Handel在相关列车轨道理论中的相关三分法和其他二分法。最简单的一个是，$Out（F_n）$的每个元素要么是有限阶的，要么是多项式增长的，要么就是指数增长的。

Answer 16

以前的任务单问题：

• 有理/三角/椭圆三分法组、量子组和（填空）

• 相关模型结构的三分法：h模型、q模型、m模型度量空间和连续映射的类别Quillen等价于Top吗？

• “这样的”log-exp函数“要么最终为正，要么最终为零，或者最终为负……它保证了这些函数无穷远处的病菌确实形成了一个字段K。”渐近性不能用初等函数描述的序列示例

• 具有代数加法定理的复变量函数必须是：1）有理函数，2）有理e^px函数，或3）Weierstrass椭圆函数及其导数的有理函数。基于凸曲线的三角函数

• “每个有限生成的无限profinite群都有一个刚好无穷的商。由于Wilson（由Grigorchuk改进）描述了它们的外观，因此有一个三分法。”超自然群体作为数学对象的优点是什么？

• “g=0、g=1和g≥2给出了曲线的三分法。如果你观察这些曲线的拓扑、几何和算术属性，它们的属性与这些类非常吻合。"我为什么要相信莫代尔猜想？

• Kodaira尺寸。κ（Y）<0，κ（Y=0，κ）=dimY。具有（反）充分正则丛的光滑射影变体的“频繁度”是多少？

• “Fibonacci序列中素数的秩和周期；三分法”，Fib。夸脱。，45（2007年第1期），56-63）。两个不同的斐波那契数之差能无限大吗？

• 根据Etingof的说法，Igor Frenkel曾建议Lie理论有三个“层次”，可以称为无圈、一圈和两圈。为什么我们不能做三个循环？

M.SE公司：

• “对于在职数学家来说，范畴的集合论设置有点微妙……因此，有小集合、大集合和适当类的三分法。这不是通常的做法：我们通常认为所有集合都很小。”https://math.stackexchange.com/questions/201062/confusion-over-the-use-of-universes-in-category-theory

• “计划有三个不同的方面，每个方面都有自己的目的”https://math.stackexchange.com/questions/99605/why-study-schemes/99615

TCS（牵引力控制系统）。东南方：

• “关于逻辑最令人惊讶的事实之一是，一致性强度归结为一个问题：”在这个逻辑中，你能证明的增长最快的函数是什么？“因此，许多逻辑类的一致性可以线性排序！如果你有一个序数符号，能够描述增长最快的函数，你的两个逻辑可以显示总和，那么你就可以通过三分法知道，其中一个可以证明另一个的一致性，或者它们是等价一致的。”https://cstheory.stackexchange.com/questions/4816/axioms-necessary-for-theoretical-computer-science/4821

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一篇经常被引用的论文：“AD+自然模型中的三分定理”，载于《集合论及其应用》，《当代数学》，第533卷，Amer。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2011年，第227-258页。

Answer 17

代数的Gelfand-Kirillov维数要么是零，要么是一，要么至少是$2$。

这听起来很傻，但必须记住GKdim是一个实数（或$\infty$），并且对于所有实数$r\geq2$，都有GKdim=$r$的代数。

这是几个人的共同成果。看看麦康奈尔和罗布森的书，或者克劳斯和莱纳根的书。

Answer 18

每一个$2\times2$实矩阵都与以下三种形式之一的实矩阵相似：$$\pmatrix{a&0\cr0&b\cr}，\qquad\pmatrix{a&1\cr0&a\cr}，\qquad\pmmatrix{a&b\cr-b&a\cr}$$

Answer 19

椭圆曲线的自同态环要么是$\mathbb{Z}$，二次域中的阶，要么是四元数代数中的阶（分别为$1,2$和$4$）。

Answer 20

一个场的每个素数在一个场扩展中要么分支，要么分裂，要么是惰性的。

Answer 21

每个逻辑陈述要么是真的，要么是不可判定的，要么就是假的。

Answer 22

局部域可以是纯特征$0$、纯正特征或混合特征。（这意味着代数具有特征$0$，但其剩余域具有正特征。）

当然，这是一个三分法依赖于它是一个领域的事实；否则，您还可以有特征$p^n$（剩余字段具有特征$p$）。我真的不知道该案件是如何分类的（我想这是一种混合特征的形式）。。。

Answer 23

在动力系统的热力学形式中，Hölder连续势函数美元\斐$关于可数状态拓扑马尔可夫链$（X，\sigma）$为正递归、空递归或暂时。这些对应于平衡状态的三种可能性（最大化数量的变换措施$h（\mu）+\int_X\phi\，d\mu$)：有限平衡态的存在等价于正递归；零递归是平衡状态变为美元\西格玛$-有限但非有限，瞬变是指没有平衡状态的情况（所有重量都已达到无穷大）。

这些可以按照特定的顺序进行描述$a_n>0$：阳性复发相当于$\lmsupa_n>0$，null递归等价于$a_n\到0$和$\sum a_n=\infty$，瞬变等效于$\sum a_n<\infty$我想这种序列的三分法也出现在其他地方。

编辑：值得一提的是，这种三分法同样适用于有向图（加权或无加权）上的随机游动——历史上我认为这是它首次被研究的地方，也是术语的来源，但作为一个动力学者，我更直接地想到了上面的解释。在这种情况下，解释如下：

• 正递归——概率为1时，随机游走返回到它开始的位置，预期返回时间是有限的。
• Null递归——行走以概率1返回到起始位置，但预期返回时间是无限的。
• 瞬时——概率为1，行走永远不会回到起始位置。

Answer 24

以下是一组具有共同主题的示例，部分基于此处的注释和MO线程关于是否应将空白空间视为连通空间，以及nLab中的一篇文章，“太简单而不简单”.

应该注意的是，其中一些三分法曾一度被认为是两分法；例如，过去对许多人来说，1是质数。还应该注意到，这些例子之间有许多交叉连接（如果你愿意的话，同态），而且这个列表并不完整（这是CW，所以可以随意添加更多！）。

• 模可以是可约的、不可约的或零的。

• 布尔代数中的过滤器可以是“次极大值”(福特·德米厄！)最大过滤器=超滤器，或不正确的过滤器。

• p.i.d.中的元素是复合、质数或单位。

• 拓扑空间（或图）可以是断开的、连接的或“未连接”（空）。

• 对于满足谓词的元素，可以有多重性、唯一存在性或不存在性。

最后一个三分法通常被认为是一种二分法：不一致性与唯一性。（也就是说，不存在属于唯一性=“至多一个”的范围。）但数学经验，例如范畴理论及其对普遍属性的关注表明，唯一存在值得在其自身的范畴中考虑。

• 理论可以是不完整的，但可以是一致的、完整的或不一致的。

Answer 25

有人提到过$0$、$1$或$\geq2$属的代数曲线的不同算术行为吗？

Answer 26

在数论中，有三分法$\infty$、奇$p$和$2$（最奇怪的素数）。

Answer 27

设$G$是复约化代数群，$F$是有限秩自由群。在$F$的$G$-表示的模空间中，即字符变化$\mathrm{Hom}（F，G）//G$，点的正则性（通常，但并不总是）分类如下：

1. 平滑点：好的表示（与中央稳定器不可约）

2. Orbifold奇点：坏的表示（非中心稳定器不可约）

3. 非Orbifold奇点：可约表示

请参见在这里,在这里、和在这里了解更多信息。

Answer 28

$PGL_2（\mathbb{C}）$有三种类型的子群，它们以非传递方式作用于$\mathbb{P}^1$，但具有有限多个轨道：

（1） 类型$T$：一维圆环体

（2） 类型$N$：一维环面的规范化器

（3） 类型$U$：包含非平凡的一维单幂子群

这种三分法在球面簇的几何研究中起着关键作用，球面簇是一类代数簇，包括格拉斯曼簇、旗簇、复曲面簇、代数幺半群和对称空间。这对于理解球面簇的舒伯特子簇的类似物（即Borel子群轨道的闭包）特别重要。

在本例中，没有“中间”情况，因为这三种类型没有内在顺序。

Answer 29

假设一个组$G$在没有反转的树上有一个操作并且没有全局不动点。然后（a）$G$可以表示为（非普通）合并免费产品；（b） $G$是可指示的（即。它映射到无限循环群）；或（c）$G$可表示为严格升序子群的并集。

此属性的否定（$G$在没有倒置有一个固定点）被（J.-P.）Serre称为FA。

一个更普通但相关的示例：树要么固定点，要么反转边，要么具有不变量树中包含的（双无限）线，自同构作用于该树翻译。

Answer 30

简单花边Dynkin图是A、D或E。（亚历山大·谢尔沃夫（Alexander Chervov）的回答中可能隐含了这一点，但我认为值得明确指出。）