初级分解仍然重要吗？

Question

Atiyah和Macdonald的第50页交换代数导论，在初级分解一章的导言中，它说

在现代治疗中强调本地化，初级分解不再是这样的理论中的核心工具。

然而，我的理解是，基本上使用定位的图式理论，可能是他们所指的现代处理的一部分，并没有消除初级分解的需要。相反，人们可以并且确实（例如在艾森巴德和哈里斯）将主分解应用于方案。

因此，本地化在某种程度上消除了主分解的需要，这真的是真的吗？有没有例子可以用其他论点取代初级分解，使初级分解仅仅是一个经典但过时的概念？否则，作者所说的这句话是什么意思？

Answer 1

我不知道历史（特别是主分解扮演了什么角色，现在已经“过时”了），但我确实知道主分解以各种其他形式出现的几个地方。

我意识到这并不是问题的确切答案，但也许它可以说明主分解和局部化之间的一些关系，以及主分解的出现方式仍然不仅仅是简单地找到相关的素数。。。

象征性力量

第一个是在服用象征性权力一个基本理想（或更一般的任何力量）。假设$Q\子条款R$是一个首要的理想。如果有帮助，假设R美元$是规则的（或在一个域上是平滑的）。现在考虑一下$Q^n$对于各种整数n美元$。令人惊讶的是$Q^n$不是$Q美元$-初级（至少如果你之前没有考虑过这一点）。特别是，可以对$Q^n=P_1\cap\dots\cap P_s$。这些理想之一就是$Q美元$-主要的，这叫做这个n美元$的象征力量$Q美元$,并表示为$Q^｛（n）｝$在交换代数中

让我至少给你一些象征性力量和本地化之间的联系。考虑扩展$Q^n R_Q$属于$Q^n$本地化R_Q美元$，这是$QR_Q美元$主要（因为$QR_Q美元$最大值）。现在，把它拉回到R美元$.你得到$$Q^{（n）}=（Q^nR_Q）\cap R$$换句话说，这个n美元$的象征力量$Q美元$是最大的($Q美元$-初级）符合的理想$Q^n$一般而言。

备注： 我想知道Atiyah Macdonald所指的是不是这种东西。从几何的角度来看，人们想要的主要信息通常是象征力（我将在下面给出一些证据，在其他语言中象征力被重新表述），现在我们可以纯粹通过本地化来考虑这一点，从而完全忘记了主分解透视图。

最后，如果你是有限类型的话$\mathbb｛C｝$和R美元$是有规律的，那么象征性的力量有一个自然的描述。$Q^{（n）}$是的元素集R美元$按顺序消失n美元$在的每个闭合点V美元（Q）$在一般情况下，描述是相同的，我们只是不能限制到闭合点。我相信艾森巴德的书很好地介绍了其中的一些内容。

人们可以问一些自然的问题，但最自然的可能是：

问题： 什么时候象征性力量等同于普通的理想力量？

这是一个许多交换代数学家广泛研究过的难题（在我看来，这是交换代数研究中最活跃的领域之一）。已知它们相等的最大情况是由正则序列定义的理想，即完全交集。一般来说，象征性的权力和普通的权力是不平等的。事实上，出现的一组相关素数也可以被视为理想复杂性的某种度量，但现在我正在研究我所知较少的材料。

分级象征权力

这只是一个简短的旁白，但可能值得一提。代数几何学中的一个经典问题如下（例如，请参阅丘德诺夫斯基、埃斯诺尔特·维埃韦和哈伯恩的一些著作）。

问题： $\text{}$ 给出一组分数美元$在里面$\mathbb{P}^m$和一个整数$k>0$，最小度数是多少N美元$通过每个点的超曲面美元$具有多重性千美元$?

这套美元$具有相关的同质理想J美元$在里面$k[x_0，\点，x_m]$.$J=Q_1\cap\dots\cap Q_t$（其中$t（美元）$是中的点数美元$). 考虑$J^｛（k）｝=Q_1^k\cap\dots\cap Q_t^k$（符号力量的变体，请注意$Q_i$是完全的交叉点，所以普通和象征性的力量$Q_i$重合）。这种情况经常发生$J^{（k）}\neq J^k$（一般情况下$J^{（k）}$是的一部分$J^k美元$的主分解）。

在这种情况下，上述问题的答案是N美元=$``非零元素的最小阶$J^{（k）}$.''

威尔分区滑轮

这可以被视为符号力量的一种特殊情况，但它有一些不同的风格/应用。假设X美元$是正常品种D美元$是上的有效Weil除数X美元$.考虑$O_X（-nD）$对于各种整数n美元$.是X美元$是平滑的，或者更一般地说，D美元$是卡地亚，然后是代数：

$$\bigoplus_{n\geq0}O_X（-nD）$$

是有限生成的。但一般来说，它不是有限生成的！然而，当它是有限生成的时，会发生许多奇妙的事情（例如，这在证明最小模型程序中存在翻转时很有帮助，以sheafy为例项目). 有趣的是，在具有Kawamata对数终端奇点的变体中，所有这样的环都是有限生成的（Stefano Urbinati最近向我指出了这一点）。

你会问，这与初级分解有什么关系？好吧，这基本上只是象征力量的一种变体。假设$X=\text｛Spec｝R$和$D=\sum a_i D_i$对于素数$D_i（美元）$.这么说$D_i（美元）$由素除数定义$P_i\subseteq R$.然后

$$O_X（-nD）=\bigcap P_i^{（a_in）}$$

（好吧，一个是一捆，另一个是理想，但你明白了）

如果你以前没有这样做过，你可以试试下面的练习。考虑一下理想$Q=（x，y）\子结构k[x，y，z]/（x^2-y z）$这个理想定义了一个除数（它是圆锥的一个标尺）。展示戒指$\bigoplus_{n\geq0}Q^{（n）}$和$\bigoplus_{n\geq0}问题^n$都是有限生成的环，但它们是不同的环。。。

用关联素数度量模的复杂性

考虑一个局部上同调模，$H^i_J（右）$（此处$J\子标准R$是一种理想）。这样的模块对于计算开放变种集的层上同调很有用，因为它基本上是上同调的代数版本，并且有支持。这些在学习时也会出现（通常作为主要示例）D美元$-模块。

如果这个模块只有有限多个关联的素数，那么可以肯定的是，它是一个更简单的模块，因为只有有限多的构建块。Huneke（我认为）提出了一个由来已久的问题，即每个局部上同调模是否只有有限多个相关素数。Huneke和Sharp对规则环（任何理想环）都表明了这一点。

然而，Anurag Singh在几年前给出了一个例子，这表明可能有无限多的相关素数（Moty Katzman稍后给出了等特征的例子）。当局部上同调模只有有限多个关联素数时，人们仍在研究。

日志规范中心

大卫·斯派尔（David Speyer）从应用程序中的主分解中请求了一些非最小项的应用示例。这是我所知道的一个例子，或者至少是出现非极小关联素数的一个例子（正如Dustin在上面指出的，分解的非极小主成分并不是唯一的）。

假设$\pi:Y\到X$是某个正规代数簇上奇点的一个分解$\mathbb｛C｝$事实证明X美元$有有理奇点如果$R^i O_Y=0$为所有人$i>0$最近瓦列里·阿列克谢夫（Valery Alexeev）——克里斯托弗·哈肯（Christopher Hacon）和萨多尔·科瓦奇（Sándor Kovács）定义了非理性中心是这些模的任何相关素数$R^i O_Y（年）$特别是，这些中心测量了各种有理奇点的失效。

这两组作者都对这些素数感兴趣，因为它们的存在或不存在意味着关于$O_X（美元）$和$\omega_X美元$（动机来自高维变体的模量理论）。有趣的是，这些非理性中心也总是对数标准中心.

日志规范中心是过去15年中在高维代数几何中大量使用的特殊子变种（在Rob Lazarsfeld的书的后几节中对其进行了讨论）。特别是，对于从对数正则中心到其周围空间的全局截面，有一些很好的扩张定理（例如，请参阅川端康成关于子共轭的论文）。它们也是对维度进行归纳的优秀工具。许多关于环境变化的问题可以简化为对数规范中心的问题。

Answer 2

您的部分问题是关于主分解和本地化之间的关系。这里，我认为基本的联系是，如果$I$是Noetherian环$R$中的理想，其最小主分解是$I=J_1\cap\cdots\cap J_n$，而$S$是$R$的任何乘法集，那么$（S^{-1}I）\cap R$的最小主分解由那些与其相关联的素数与$S$不相交的$J_I$组成。例如，在卡尔的回答中，这个语句给出了符号幂的两个等价定义，将$I$作为素理想$P$的幂，并将$s=R\set减去P$。

重点是，观察本地化有用性的一种方法是，它通过仅用一些主要组件的交集替换理想来简化理想。从这个角度来看，初级分解似乎是更多分析理想的有用方法，因为它为您提供了每个主要组件。然而，初级分解的局限性在于它不是唯一的（如果我没记错的话，艾森巴德的书很好地解释了这一点）。因此，初级分解为您提供了关于原始理想的有用信息，以及来自您在计算过程中做出的一些任意选择的一些信息。初级分解的哪些方面是由原始理想唯一决定的？它是关联素数的集合，以及主成分的任何子集之间的交集，其关联素数形成了原始理想关联素数偏序集的向下封闭子集，也就是说，对于某些乘法集合$s$，这些理想正好显示为$（s^{-1}i）\cap R$。我认为，一些人对初级分解的厌恶，例如布尔巴基，来自于非唯一性，而本地化可以被视为一种准确捕捉初级分解独特部分的方式。

正如评论中提到的，主分解在计算上非常有用。这里，非唯一性不是问题，因为计算通常取决于许多选择。我怀疑，在大多数情况下，主分解本身并没有从中得到答案的其他问题那么有趣：方案的不可约部分，其中哪些是一般化约化的，非约化轨迹的不可约化部分，或者对应于齐次理想的射影方案是否被约化（这不一定与仿射方案是否约化相同）。每一个问题都可以从关联素数集和最小素数的局部化中得到答案，但主分解提供了所有这些问题的方便表示。