（子）模块的一次分解在几何上意味着什么？

Question

我想知道我应该如何想象模块在代数几何中。我们想象的方式戒指通过其光谱，自动（或通过其设计之美）描绘了理想：理想的$I\triangleftA$的主成分切除了“主子成分”（不可约成分和嵌入成分），其并集为$Z（I）=Spec（A/I）$。（例如，见艾森巴德和哈里斯，方案的几何第二章第3.3节，第66-70页）。图式理论的这一方面对于它的“几何性”至关重要

按照这个标准，我认为无论我们如何想象模块应该允许我们描述子模块; 否则我会说这不是一个很好的可视化。

如果我们乐于接受商，WLOG我们可以只看$0$的主分解。因此，假设$M$是Noetherian环$a$上的有限生成模，$0=N_1\cap\cdots\cap N_N$是$M$中$0$的主分解，其中素数$P_i$与主模$N_i$共同关联，即与共主模$M/N_i$s关联。

如何将模块$M、N_1、\ldots、N_N$与$Spec（A）$的关系可视化，从而有意义地描述：
(1)$M$中$0$的主分解（特别是$N_i$是$M$的主），以及
(2)模$N_i$与其共同相关素数的关系，例如
{$P_i$}$=组件（M/N_i）\子结构规范（A）$？

一些有用的背景结果有助于理解上述内容（所有环和模块都是Noetherian的）：

• 与$N_i$共同关联的素数$P_i$正是$M$的关联素数（请参见R.灰，交换代数，定理1.3.9）

• 如果一个模块$Q$只有一个相关的素数$P$，然后$P=\sqrt{annQ}$，那么它就是余素数。（参见R.灰，交换代数，推论1.3.11）

Answer 1

我会假设眼前的一切都是诺以太式的，并且是有限生成的。如果您将模块$M$作为$\text{Spec}（a）$上的一个层来查看，则主分解相当于对其几何支持的描述。方案$\text{Spec}（A/\text{Ann}（M））$是定义上支持$M$的$\text}Spec}的子方案。如果$N_i$是最小的，那么$\text{Spec}（A/P_i）$是$\text}Spec（A/\text{Ann}（M））$的不可约组件。模块$M/N_i$也是足够大的$N$的$M\otimes（a/P_i^N）$的商（在简化分解中，我认为它们是相等的），因此它是其支持的不可简化组件上$M$的一部分。如果$N_i$不是最小的，那么$\text{Spec}（A/P_i）$是$\text}Spec}的组件（A/\text{Ann}（M））$内的不可约方案。

Answer 2

可视化嵌入素数：在P^2中，根据Macaulay的非混合性定理，一个一维格式不可能有嵌入点，除非其理想有多个生成器。假设我们有两个多项式，它们定义了P^2中的一维方案。我们将此方案想象为零维方案的极限。首先取两个二次多项式，其中一个是两个线性因子的乘积，即取一对在p处相交的直线和另一个不可约二次曲线。一般来说，不可约二次曲线C在远离p的地方与每条直线相交两次。因此，两个四次多项式定义了一个4点的零维方案。

现在固定C与其中一条直线L的两个交点，让C与另一条直线M的两个交叉点接近p，即让C在p处与M相切。当这种情况发生时，圆锥曲线C现在包含L的三个不同点，因此C是可约的并且包含L。现在，由L+M与C相交而定义的方案是一维的，可约的，并且理论上只由直线L组成。我声称点p是L+M和C定义的方案的分量L的嵌入点。

这在代数上很容易，因为给定方案的理想是（xy，（x（x-y））=（x^2，xy），它是主理想（x）和（x^2,xy，y^2）与相关素数（x）与（x，y）的交集。因此（x，y）是嵌入素数。也就是说，原点是该方案y轴上的嵌入点。这也有助于解释贝佐特定理对于两个显然没有4次二次曲线的交集的明显失败。

通常，在P^n中，具有嵌入子切的方案S必须通过相交比S的余维更多的超曲面来定义。因此，这样的S总是可以被视为低维方案的极限。在我看来，当这些低维格式是可约的，并且一些低维分量位于极限的更大维分量上时，就应该出现嵌入子模式。我不知道这种直觉是否是唯一的可能性，因为世界是广阔的，可能不是。