相关捆绑包在方案中是否可以表示？

Question

我在不止一篇论文中看到了以下没有证据的说法，但它足够笼统，我怀疑它的表述过于强烈而不真实：

设$G$是仿射群方案（例如，在特征为零的域上），$X$是方案（在同一域上光滑），$P到X$是$G_X$-torsor。如果$Y$是带有$G$-操作的方案，则关联的包$P\times^GY$是方案。

我可以使用fpqc下降来证明当$Y$是仿射的（或其他有效的fpqc下跌类）时这是正确的，并且当$P$是Zarisk-locally平凡的时，我可以使用Zariske下降。总的来说，我怀疑有人可以收集已知的血统反例来证伪这一说法，但我一直无法这样做。

问题：有已知的反例吗？如果没有，有证据证明这一说法吗？

我对$G$连通的情况更感兴趣，但这里有一个我不知道如何证明的候选者：将$X$设为具有非平凡双重覆盖$P$（$G$常数为2阶）的光滑曲线，并将$Y$设为具有对合的Hironaka的3倍（其商鞘不是一个方案）。

Answer 1

这是错误的；在我关于血统理论的笔记中有一个反例（$G$是$2$阶的有限群）http://homepage.sns.it/vistoli/descent.pdf第4.4.2小节。