什么时候？$（a，m）=1$，让$\pi（x；a\bmod m）$是素数$p\leq x美元$这样的话$p\equiv一美元$.算术级数的素数定理国防部百万美元$代表所有人$a\in（\mathbf Z/m\mathbf-Z）^\次$那个$\pi（x；a\bmodm）\sim（1/\varphi（m））x/\log x$.
哈罗德·夏皮罗，在报纸上与算术级数素数定理等价的几个断言、Comm.Pure Appl.公司。数学。2（1949），293-308，显示整数的定理百万美元\geq 1$等同于下列条件中的每一个百万美元$:$$\sum_{\子堆栈{n\leqx\\n\equiva\bmodm}}\mu（n）=o（x）$$为所有人美元$具有$（a，m）=1$和$$\sum{\子堆栈{n\geq1\n\equiva\bmodm}}\frac{\mu（n）}{n}\\{rm收敛}$$为所有人美元$具有$（a，m）=1$。这应该能解决你的两个问题。
关于上述第二个等价条件，请注意素数定理在许多地方都表示为与计算等价$\sum\mu（n）/n=0$，但它也等价于$\sum\mu（n）/n$因为很容易证明这个系列必须$0$如果它由于Dirichlet级数的Abel定理而收敛：$\sum\mu（n）/n$意味着这个数列必须相等$\lim_{s\to1^+}\sum\mu（n）/n^s=\lim_{s\to1 ^+}1/\zeta（s）=0$.
我在回答中解释了在这里算术级数中素数定理的模百万美元$相当于非茴香$L（s，\chi）$在线${\rm Re}=1$对于所有Dirichlet字符美元\chi\bmod m$,有了这些信息，让我们看看如何推导出上面的第一个莫比乌斯类比。什么时候？$（a，m）=1$,$$\sum{\substack{n\leqx\\n\equiva\bmodm}}\mu（n）=sum{n\leq x}\frac{1}{\varphi（m）}\left（sum{chi\bmodm}\overline{chi}（a）\chi（n，$$哪个是$$\压裂{1}{\varphi（m）}\sum{\chi\bmodm}\上横线{\chi}（a）\左（\sum{n\leqx}\chi（n）\mu（n）\右）。$$要显示这一点$o（x）美元$，我们显示每个内部和是o美元（x）$.
位于的内部总和$\chi美元$是Dirichlet级数系数的部分和$\sum\chi（n）/mu（n）/n^s$，这是$1/L（s，\chi）$对于${\rm Re}>1$.这个Dirichlet级数的系数有界于绝对值（由$1$)和$1/L（s，\chi）$对该行进行了分析延续${\rm Re}=1$（这就是我们使用非暴力手段的地方$L（s，\chi）$在那条线上，包括美元=1$什么时候$\chi美元$是琐碎的特征，所以这里的倒数是解析的美元=1$用零表示），根据纽曼的Tauberian定理$$\压裂{1}{x}\sum_{n\leqx}\chi（n）\mu（n。$$The convergence of$\sum_{n\equiv a\bmod m}\mu（n）/n$什么时候$（a，m）=1$通过类似的方法证明：将任务简化为显示所有狄利克雷字符美元\chi\bmod m$那个$\sum_{n\leqx，n\equiv-a\bmod-m}\chi（n）\mu（n$聚合为$x\到\英寸$.
