康威的组合游戏是任何熟悉理论的“怪物模型”吗？

Question

这与这个关于“所有人之母”群体的问题因此，它似乎比MSE更适合MO。

如果我正确地理解了这个问题的答案，超现实数字可以很好地描述为有序场理论的“怪物模型”（我认为也是真实封闭场），这意味着每个有序场都嵌入到超现实数字中。在回答上述问题时，乔尔·戴维·哈姆金斯（Joel David Hamkins）举了一个有趣的例子，说明群论的怪兽模型是什么样子的，它具有这样的性质：每个可能的群都是这个群的一个子群（这使得它在评论中被称为“哈姆金斯的全能类群论”，或者我认为是哈格特）。

因此，这个问题是关于康威对组合游戏的形式化，其中嵌入了超现实的数字。康威的游戏比超现实的数字更一般，并且（除其他外）具有以下结构：

• 有两个游戏的可交换和（与超现实数字的和一致）
• 对于任何游戏，都有一个加性逆（因此我们有一个阿贝尔群）
• 游戏有部分订单
• 有幂零游戏，比如明星$\{*|*\}$二级游戏，如康威对尼姆的分析所示

我的问题是康威游戏是……理论的怪物模型吗。。。好吧，有与上述内容相关的熟悉内容吗？阿贝尔集团？部分有序阿贝尔群？还有什么？

准确地说，我确信可能有某种方法可以设计出一些人工理论，认为游戏从技术上讲是一个怪物模型。我想知道的是，它们是人们一直在使用的一些熟悉的代数理论的怪兽模型，还是一些只添加了一点结构的此类理论。因为他们以一种相当“自然”的方式概括超现实主义，所以看起来很直观，他们可能是一些同样“自然”理论的怪物模型，比有序场的理论更普遍。

编辑：我之前写道，超现实乘法也可以扩展到整个博弈论的交换乘积，如(这本书的第412页). 然而，正如下面的评论所写，这显然不是完全正确的，因为平等关系有一些微妙之处。

Answer 1

在关于Conway的一个猜想（《伊利诺伊州数学杂志》第46卷（2002年），第2期，第497–506页），雅各布·卢里证明了康威的猜想G美元$与康威在其中定义的加法一起的对策是（直到同构）唯一的“普遍嵌入”部分有序阿贝尔群，即。对于每个这样的子组美元$属于G美元$其宇宙是一个集合以及任何此类扩展十亿美元$属于美元$，存在同构$f:B\右箭头G$这是上的标识的扩展美元$康威提出的术语“普遍嵌入”很不幸，因为它有时与“普遍”混淆。对于部分有序阿贝尔群，“普遍嵌入”意味着“普遍”，但我还没有检查它们是否等价（尽管我怀疑它们不是等价的）。对于有序字段，这些概念并不等价；而$\mathbf｛否｝$同构是唯一的“普遍嵌入”有序域，同构不是唯一的普遍有序域（尽管它当然是普遍的）。我在论文中指出了这一点具有简单层次的数字系统：康威超现实数字理论的推广（符号逻辑杂志66（2001），第3期，1231–1258）。在那篇论文中，我进一步建议使用术语普遍延伸代替普遍嵌入作为使用康威术语可能引起混淆的一个例子，我指出（第1240页）康威的术语引领了戴尔和伍登(超现实有序字段牛津克拉伦登出版社。1996年，第58页）错误地宣称$\mathbf｛否｝$同构是唯一的普适有序域。

编辑（4/30/20）：为了完整起见，也许值得一提的是，虽然Lurie的结果是二者中更深的一个，但David Moews证明了Conway的加法博弈类（但没有顺序关系）是（直到同构）唯一的普遍嵌入Abelian群。参见Moews游戏组的抽象结构Richard J Nowakowski（编辑）更多没有机会的游戏，MSRI出版物第42号，剑桥大学出版社，剑桥，2002年，第49-57页。