一般数域的高斯和

Question

经典高斯和有着广泛的文献基础。对于$\chi美元$本原Dirichlet字符模N美元$，由给出$$\tau（\chi）=\sum_{n\text{mod}n}\chi（n）\exp（2i\pi n/n）$$

一个有趣的事实是，原始Dirichlet字符本质上是它们自己的傅里叶变换，直到这个相关的高斯和：$$\sum_{n\text{mod}n}\chi（n）\exp（2i\pi-nm/n）=\bar{chi}（m）\tau（\chi）。\qquad（\star）$$

我对一般数字字段中的类似属性感兴趣$F（美元）$.让$\欧米茄$是的非零元素$F（美元）$然后写$\mathfrak{a}$它的分母。赫克定义了一些类似的高斯和$$C（\omega）=\sum_{n\text{mod}\mathfrak{a}}\exp（\mathrm{tr}（n^2\omega））$$

（此处$n\text{mod}\mathfrak{a}$意味着n美元$是中的理想整数$\mathfrak美元{o} _F（F）/\mathfrak{a}\mathfrak{o} _F（F）$，其中$\mathfrak美元{o} _F（F）$是的整数环$F（美元）$). 我还没有发现与上述类似高斯和有关的任何内容，即对于有限阶字符美元\chi$关于字符模的整数理想$\mathfrak｛a｝$,$$\tau（\omega，\chi）=\sum_{n\text{mod}\mathfrak{a}}\chi（n）\exp（\mathrm{tr}（n^2\omega））$$

垃圾堆里有这种东西吗？特别是，我们是否有类似的结果$（\星）$?

Answer 1

Hecke-Gauss和是二次高斯和，并且（*）对于二次字符是正确的（Hecke，Satz 155）。赫克-高斯和后来由

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