让我们为$n\geq1$定义两个辅助序列$c_n=a_{n+2}-a_{n+1}-2$和$d_n=b_{n=2}-b_{n+1}$。可以用归纳参数证明序列$c_n$取$\{0,1,2,3\}$中的值，而$d_n$取$\{1,2\}$的值。
序列$c_n$开始：$1,1,1,3,0，\dots$和$d_n$开始：$1,1,2,1,2,1,1，\dotes$。
我们知道如何通过关系$c_n=2d从$d_n$到$c_n$_{n-1}-d_{n-2}$。还有一种很好的方法可以通过替换步骤从$c_n$构建$d_n$：
假设我们有$c_n$的前$m$项。如果我们进行换人$0\到2,1\到21,2\到211,3\到2111$并附加$1,1$作为前缀，我们将获得$d_n$的第一个$m'=3+m+\sum_｛n=1｝^m c_n$项。它们的和是$\sum_{n=1}^{m'}d_n=3+2m+\sum_}n=1}^mc_n$。
让我们表示$\sum_{n=1}^mc_n=\sqrt{2} 米+\ε_m$。由于$\sum_{n=1}^mc_n=a_{m+2}-2（m+2）-5$，您的猜测可以重新表述为$$-2.172\approx2\sqrt2-5\le\epsilon_m\le 2\sqrt2-2\approx 0.828美元$$
我写了一个参数来证明$\epsilon_m$是有界的，但我得到的常数稍差一些。设$f_1$是任意的自然数。将$f_2$定义为$\alpha=4+f_2+\sum_{n=1}的最小自然数^{f2}cn-f1\geq 0美元。请注意$\alpha\le 3$。我们可以写$$\sum_{n=1}^{f1}cn=2d_{f1-1}+d_{F1-2}+\cdots+d_1$$$$\暗示\sqrt{2} 第1页+\ε{f1}=d{f1-1}+3+2f2+\sqrt{2} f2+\ε_{f2}-\阿尔法$$我们也有$$f_1=4+f_2+\sqrt{2} f2+\ε_{f2}-\阿尔法$$因此，通过取$\sqrt2$乘以第二个等式减去第一个等式，我们得到$$\epsilon_{f1}=d_{f1-1}-1-（\sqrt2-1）（4+\epsilon_{f2}-\α）$$由于[1,2]$中的$d_{f_1-1}和[0,3]$中的$1alpha$$\epsilon_m\in\left[\frac{\sqrt{2} -6个}{2} ，\frac｛5\sqrt{2}-4}{2} \右]\约[-2.293,1.535]$$总共$m$。（可以检查$\epsilon_{f_2}$是否属于该区间，那么$\epsion_{f_1}$也必须如此，并使用强归纳法。）
