循环序列上的组合学

Question

给定$m\geq1$，让$I=（a_1，\ldots，a_{3m}）$是这样一个序列，即$I$正好包含$m$零、$m$一和$m$二。

给定$i=1,2$和$j\leq3m，k\leqm$，我们可以在找到$k$零之前定义$$U_{i，j}（k）=\text{$i$的数量，从位置$j$}开始$$

（以循环方式向右移动）

例如，对于序列$（0,2,1,1,0,2）$，我们将得到$U_{1,2}（1）=2，U_{1.6}（2）=2$（这里需要移到开始处继续计数），并且总的来说（使用矩阵表示法），

$$U（1）=\开始{bmatrix}U_{i，j}（1）\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&2&2&1&0&0\\0&1&0&0&1\end{bmatrix}$$

$$U（2）=\开始{bmatrix}U_{i，j}（2）\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&2&2&1&0&2\\1&2&1&1&1&2\end｛bmatrix｝$$

问题：对于所有这样的序列，确实存在$k\leq-m$，使得系数$U_{i，j}（k）$中至少$3m$满足吗$U_{i，j}（k）\geq-k$？

起初，我认为取$k=1$或$k=m$就足够了，这是我非常理解的情况，但序列$（0,0,1,2,0,2,2,1,1）$仅在$k=2$时有效。

我的第一个建议是，对于一个固定的$k$，如果$U{1，j}（k）\geqk$和$U{2，j}（k）\ geqk$$j$都是$2g$（太好），如果$<k$，$2b$（太坏），否则是$1g1b$。然后，如果我们将“区间”定义为一个子序列，它从一个零开始，到下一个零结束，那么我们可以通过测量每个区间的好坏来衡量序列的“优度”。

结果表明，对于$k=1$，我们有：

• 错误间隔的形式为：$（1g1b，1g1b，\ldots，1glb，2b）$，“总和”为$-2$
• 好的区间形式为：$（2g，\ldots，2g，1g1b，\ldots，1g1b，2b）$，总和至少为$+2$，取决于开始时为$2g$的元素数量。
• 中性间隔：$（2g，1g1b，\ldots，1glb，2b）$，总和为零。

然而，我不知道如何扩展这个想法，也不知道如何解决一般问题。

Answer 1

答案： 不，这不是真的。

对于$m=5$，计数器示例为：$（0，2，0，2，0，2，1，2，1，1，0，1，2，0）$。在这种情况下，我们有：$$\开始{align}U（1）&=\left（\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 3 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\结束{数组}\右）\\U（2）&=\left（\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}0 & 0 & 0 & 4 & 4 & 5 & 5 & 4 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 2 & 1 & 3 & 2 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\结束{数组}\右）\\U（3）&=\left（\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}0 & 4 & 4 & 5 & 5 & 5 & 5 & 4 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\2 & 4 & 3 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 1\结束{数组}\右）\\U（4）&=\left（\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}4 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 4 & 4 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\4 & 5 & 4 & 4 & 3 & 4 & 3 & 3 & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & 3 & 2\结束{数组}\右）\\U（5）&=\left（\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr}5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 4 & 4 & 3 & 2 & 1 & 5 & 4 & 4 \\5 & 5 & 4 & 5 & 4 & 5 & 4 & 4 & 3 & 3 & 3 & 3 & 5 & 5 & 4\结束{数组}\右）\结束{对齐}$$

每个$U（k）$只有$14$个条目$\geq k$。

详细说明一下：

• 对于$m\leq4$，您问题中的陈述是正确的，可以通过完整列举所有案例进行检查。
• 对于$m=5$，如果修改循环排列，则正好有20个反例：$$\{(1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 1, 2), (1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 2,0, 0, 0, 2, 2, 1, 2), (1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 2), (1,1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 2), (1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 0,0, 2, 0, 2, 1, 2), (1, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 2), (1, 1,1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 1, 2), (1, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2,1, 0, 2, 1, 2), (1, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 1, 1, 2), (1, 1, 1,0, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 2), (1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 0,0, 1, 0, 0), (1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0,1, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 2, 2, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2,2, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1,2, 1, 2, 2, 2, 2, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 0, 2, 1,0, 0), (1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 0, 0), (1, 0, 1, 2, 1, 2,2, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 0, 1, 0, 1, 0,0)\}$$
• 我希望所有$m\geq5$都有反例。