两个增长集的交集中元素数的渐近性

Question

设$[n]：=\{1，\dots，n\}$和$0\leqp_n\leqn$。使用$p_n$元素修复$[n]$的任何子集$A_n$。$[n]$中具有$p_n$元素且与$A$不相交的子集$B$的数量是$\binom{n-p_n}{p_n}$，因此具有$p-n$元素且和$A$有非空交集的子集$B的数量由$\binom{n}给出｛p_n｝-\binom{n-pn}{pn}$，其渐近行为类似于$\binom{n}{pn{$if$\sqrt{n}\llpn$。精确地说：$$\lim_{n\to\infty}\frac{\binom{n}{序号}-\binom{n-pn}{pn}}{\binom{n}{pn{}}=\begin{案例}1&\text{if}\sqrt{n}\ll p_n\\0&\text{if}p_n\ll\sqrt{n}\\e^{-a^2}&\text{if}\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{\sqrt{n}}=a\end{cases}$$换言之，如果$p_n$的增长速度超过$\sqrt{n}$，则$[n]$与$p_n$elements的任何两个子集通常具有非空交集。

现在，如果$p_n$的增长速度比$\sqrt{n}$快，我对它们交集中的典型元素数感兴趣。我的感觉是，这个数字也会随着$n$而增长。确切地说，我相信（数字支持这一点），如果$q_n$的增长速度慢于$p_n/\sqrt{n}$，那么最终所有设置$A_n$、$B_n$的$p_n$元素每个都共享至少$q_n$elements。把它放在公式中，如果$A_n$是任何带有$p_n$元素的集合，那么$$\lim_{n\To\infty}\frac{\lvert\{B_n\subset[n]~\lvert~~\lvert B_n\lvert=p_n\text{和}\lvert A_n\cap B_n\lfert\geq q_n\}\rvert}{\binom{n}{p_n}=1$$

由于给定大小的$B_n$与一些固定集共享至少$q_n$个元素，因此没有确切的组合计数（仅根据广义超几何函数），我需要它的一些好的下界。有人见过这些渐近线吗？欢迎提供任何参考。

Answer 1

为了避免下标，我将只写$p$而不是$p_n$。我们假设$p$与$n$相比很小；当然要说3p<n$。给定基数$p$的$A$，大小为$p$且正好在$j$元素中与$A$相交的集合$B$的数量为$$ \binom{p}{j}\binom{n-p}{p-j}\le\frac{p^j}{j！}\Big（\frac}p}{n-2p}\Bigh）^j\binom}n-p}\le\ frac{1}{j。$$由于$（1-x）\lee^{-x}$，以上是$$ \le\frac｛1｝｛j！｝\Big（\frac｛p^2｝｛n-2p｝\Big）^j e ^｛-p^2/n｝\binom｛n｝｛p｝。$$ 因此，$B$与$A$正好在$j$元素中相交的概率最多为$$ \frac{1}{j！}\大（\frac{p^2}{n-2p}\大）^je^{-p^2/n}。\标记{1}$$ （事实上，在很大范围内，这本质上是一个渐近过程，因此交集中的元素数本质上是带有参数$p^2/n$的泊松。）

但我们可以继续使用实际的不等式，而不是渐近的。考虑交叉口大小最多为$J$的概率（并假设$J\le p^2/（n-2p）$）。通过（1），该概率为$$ \lee^{-p^2/n}\sum_{j=0}^{j}\frac{1}{j！}\Big（\frac{p^2}{n-2p}\Bing）^j。$$对于任何$\alpha>0$，上述值为（因为$e^{\alpha（J-J）}\ge 1$代表$J\le J$，否则为非负值）$$ \lee^{-p^2/n}\sum_{j=0}^{\infty}e^{\alpha（j-j）}\frac{1}{j！}\Big（\frac}p^2}{n-2p}\ Big）^j=e^{/p^2/n{\exp\Big。$$选择最佳的$\alpha$，使$J=e^{-\alpha}（p^2/（n-2p））$，从而使上述估计变为$$ \lee^{-p^2/n}\exp\Big（J\大（1+\log\frac{p^2}{J（n-2p）}\大）\Big）。$$这是一个完全明确的界限，例如，表明交集最多为$p^2/（e（n-2p））$的概率最多为$$ \exp\Big（-\frac{p^2}{n}+\frac}2}{e}\frac[2}{n-2p}\Big）。$$ 显然，如果$p^2/n$较大，则此值很小，但与$n$相比，$p$较小。

Answer 2

问题陈述与超几何分布的定义完全对应。有了这个关键词，很容易找到大量文献。从开始维基百科关于均值、方差、正态近似等基本内容。约翰逊、科茨和坎普的《单变量离散分布》一书包含了更多内容。最近漂亮的纸马修·斯卡拉对尾部不平等进行了调查。