张一堂2007年兰道预印本-西格尔零

Question

最近关于素数间距有界的耸人听闻的消息让我想知道：张艺棠早期的arXiv预印本的状况如何关于Landau-Sigel零点猜想? 如果这个结果是正确的，那么（在我看来）这对解析数论来说是更大的消息。有人仔细检查过这张纸吗？

更新（2022年11月）。Yitang Zhang发布了一份新的arXiv预印本离散平均估计和Landau-Siegel零点.

Answer 1

这不是关于论文的答案，但我认为应该会有所帮助。最近一次采访（中文），他评论道：

问：前几天我去北京遇到葛立明，他说当时你在做个大问题，快做出来了。所以找你去新罕布什尔大学。

答：那是关于西格尔工作，我有一篇网络文章，是不完整的。目前我还不敢说我完全做成，但是的确有很大进展。孪生质数这个问题我做了三、四年。但希望大家不要误会，这个问题我是想了三、四年，但不是说我所有时间都在做它。一直到去年9月，我因为肯定可以做出来了，才暂时放下别的东西。

突出显示的部分可以翻译为：

…这是我在Siegel零点上的工作。我在网上有一篇论文，不完整。我不能说我现在已经完成了工作，但我确实取得了显著的进步。。。

所以这篇论文还没有完成，我们可以等到它正式出版后再写。

编辑：

我想这是公开的。但如果OP或其他人不知道，他已经访问了IAS，并就这个主题公开发表了一些演讲。视频可在以下网址获取：

https://www.ias.edu/video/jointiasnts/2013/0926-YitangZhang

总结如下：

http://www.math.ias.edu/node/5320(回程机-下面是从这里复制的，恢复了MathJax）

让美元\chi$成为一个原始的真实角色。我们首先建立了兰道-西格尔零点的存在与$L（s，\chi）$和Dirichlet零点的分布L美元$-功能$L（s，\psi）$，使用美元\psi$属于一个集合美元\磅/平方英寸$原始字符，在一个区域中$\欧米茄$结果表明，如果Landau-Siegel零点存在（等价地，$L（1，\chi）$很小），那么，对大多数人来说美元\psi\英寸\psi$，不仅仅是所有的零$L（s，\psi）$在里面$\欧米茄$简单且位于临界线上，但连续零之间的间隙接近平均间隙一半的整数倍。与关于零垂直分布的某些猜想的比较$\泽塔$，我们有理由相信gap断言将无法成立。为了从缺口断言中得出一个矛盾，我们尝试将问题简化为计算某个离散平均值；这个想法是由Conrey、Ghosh和Gonek关于$\泽塔$我们将描述主项的系数并提供一些数值证据。在某些特殊情况下，问题进一步简化为计算具有厄米核的线性积分方程的小正特征值。

Answer 2

我开始仔细研究这篇论文，但在已经被引理2.3绊倒之后就停止了。让我引用2008年1月的一封电子邮件

我无法理解引理2.3的证明，这是一个关键证明引理2.4-2.6，因此也证明了Prop。2.7因此，还有定理：据我所知，这篇论文估计（见最后一行第8页）的Supremum（在Omega_1中的s上）通过L^2倍标准积分估计的左和尊重总和的上确界（在R_1中的w之上）。最后一个等于R_1中特殊w处的总和（连续函数的最大值原理），但w（高度）依赖于psi。这就是为什么我不了解如何使用大筛子第9页顶部，以便在2.11的左边，因为大筛子只适用于当系数（当然）独立于磅/平方英寸。相反，如果证明引理2.3的方法是实际上，正如上面所画的那样，我看不出来需要对积分进行额外的处理，但是人们可以立即估计。所以我觉得我可能漏掉了一点。...（我不认为声明的一种变体可能会有所帮助，因为引理2.4-2.6非常精确地使用了引理2.3的陈述，与Prop相同。2.7).

张一堂至少应该在他的arxiv文章中对论文的不完整之处做出相应的评论。坦率地说，对这项工作的状态不完全透明，因此让其他人花费时间在这项工作上（不知道它的不足之处）是绝对荒谬的。

Answer 3

我本想写一篇小评论，但由于某种原因我没能这么做。我简要地看了一下这篇论文，它看起来写得很好，可读性也很好。它也很长（54页）。关于上述对第二段的评论，我认为这一段是对结果重要性的公正描述。特别是，如果主要结果是正确的，那么这将是一个突破，是一个好故事。请注意，该论文于2007年5月首次提交，此后没有更新，也没有撤回。

主要结果表明：对于模$D$的任何实原语字符$\chi$，对于$\sigma>1−\frac{c2}{（\log D）^{19}\log\log D}$，我们有$L（\sigma，\chi）\ne0$，其中$c2>0$是一个有效的可计算常量。据我所知，论文中没有给出$c_2$的估计值，但这似乎并不重要，因为作者已经声称，通过额外的努力，可以去掉$\log\log D$的幂，甚至$\log D$的一些幂。

这是几周内解析数论中的第二个主要论断（虽然第一次提出是在2007年，但可惜没有引起太多关注，可能是因为这样孤立地宣布一个主要结果往往会产生相反的效果）。