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利润

张一堂最新声称的Landau-Siegel零点结果的后果

最近，张一堂（Yitang Zhang）刚刚给出了一个（虚拟）谈话关于他11月5日上午在中国山东大学研究Landau-Siegel零点的工作。他还将于11月8日在北京大学发表演讲。

111页预印本现在可以在互联网上找到，这个版本似乎很快就会在arXiv上发布。（更新：现在arXiv上.)

本文表明，对于真正的原始字符美元\chi$模量D美元$,$$L（1，\chi）>c_{1}（\log D）^{-2022}$$哪里$c_{1}>0$是一个可有效计算的绝对常量。

假设这个结果是正确的，那么接下来会有哪些重要的数字理论后果？

例如，对PNT误差估计、算术级数和其他相关问题有什么影响？

答案

<trans data-src="There will be many important consequences of Zhang's result, if correct.  ">如果正确的话，张的结果会有很多重要的后果。</trans><trans data-src="One specific result is that it will reduce one of the last open problem from the era of Gauss and Euler to a finite amount of computation, namely the classification of discriminants of binary quadratic forms with one class per genus.  ">一个具体的结果是，它将把高斯和欧拉时代最后一个公开的问题之一简化为有限的计算量，即每属一类的二元二次型判别式的分类。</trans><trans data-src="The congruence class of a prime number $p$ modulo $d$ determines which form of discriminant $-d<0$ represents $p$  if and only if there is one class per genus.">素数$p$模$d$的同余类确定哪种形式的判别式$-d<0$表示$p$当且仅当每个亏格有一个类时。</trans><trans data-src="Such discriminants which are congruent to $0$ modulo $4$ are  Euler's *numeri idonei* or idoneal numbers.  ">这种与$0$模$4$同余的判别式是Euler的*numeri idonei*或idoneal数。</trans><trans data-src="Euler expected there would be infinitely many such discriminants.  ">欧拉预计会有无限多这样的判别式。</trans><trans data-src="[**Edit**: Apparently I'm mis-remembering this.  See the remarks of KConrad below.] It was Gauss who conjectured  that the only such discriminants are the 65 examples (not necessarily fundamental) known to Euler.  ">[**编辑**：显然我记错了。请参阅下面KConrad的注释。]正是高斯推测，唯一这样的判别式是欧拉已知的65个例子（不一定是基本的）。</trans><trans data-src="There are also 65 known fundamental discriminants (not necessarily even) with one class per genus.  ">还有65个已知的基本判别式（不一定是偶数），每个属只有一个类别。</trans><trans data-src="The existence of a 66th is still an open problem.  ">第66位的存在仍然是一个悬而未决的问题。</trans><trans data-src="By genus theory we know that for discriminants with one class per genus, the class group satisfies">根据亏格理论，我们知道对于每个亏格只有一个类的判别式，类组满足</trans><trans data-src="$$">$$</trans><trans data-src="C(-d)\cong \left(\mathbb Z/2\right)^{g-1},">C（-d）\cong\左（\mathbb Z/2\右）^{g-1}，</trans><trans data-src="$$">$$</trans><trans data-src="where $g$ is the number of prime divisors of $d$.  ">其中$g$是$d$的素数除数。</trans><trans data-src="Obviously $d$ is bigger than the absolute value of the smallest fundamental discriminant with $g$ prime divisors,">显然，$d$大于带有$g$素除数的最小基本判别式的绝对值，</trans><trans data-src="$$">$$</trans><trans data-src="d_g\overset{\text{def.}}=3\cdot4\cdot5\cdot7\cdots p_g.">d_g\覆盖{\text{def.}}=3\cdot4\cdot5\cdot7\cdotsp_g。</trans><trans data-src="$$">$$</trans><trans data-src="From lower bounds on the size of $p_g$, the $g$-th prime, and on $\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log(p)$, one can show that">从$p_g$的大小、$g$-th素数和$\theta（x）=\sum_{p\leqx}\log（p）$的下限可以看出</trans><trans data-src="$$">$$</trans><trans data-src="d_g>g^g.">d_g>g^g。</trans><trans data-src="$$">$$</trans><trans data-src="Since $">自$</trans><trans data-src="2^{g-1} \ll \sqrt{g^g}, ">2^{g-1}\ll\sqrt{g^g}，</trans><trans data-src="$">$</trans><trans data-src="lower bounds for the class number which we expect to be true rule out the possibility for one class per genus for large $g$.  ">类数的下界（我们期望它为真）排除了大$g$每属一个类的可能性。</trans><trans data-src="In 1973, Peter Weinberger showed that on GRH, no fundamental discriminant $-d<-5460$ has one class per genus, and unconditionally there is at most one more such $d$.    ">1973年，彼得·温伯格（Peter Weinberger）指出，在GRH上，没有一个基本判别词$-d<-5460$每属有一个类，并且无条件地最多有一个这样的$d$。</trans><trans data-src="In contrast, Oesterle explicitly observed that the lower bound due to Goldfeld-Gross-Zagier  is not strong enough to finish the classification of discriminants with one class per genus: ">相反，Oestele明确观察到，由于Goldfeld-Gross-Zagier的下界不足以完成每个属一类的判别词的分类：</trans><trans data-src="$">$</trans><trans data-src="\log(g^g) $ is $\ll 2^{g-1}">\log（g^g）$是$\ll 2^{g-1}</trans><trans data-src="$.">$.</trans><trans data-src="Iwaniec and Kowalski observed that even the full strength of the Birch Swinnerton-Dyer conjecture, "the best effective lower bounds which current technology allows us to hope for"  would not suffice, as $ \log(g^g)^r$ is $\ll 2^{g-1}$  for any $r$.  ">Iwaniec和Kowalski观察到，即使是Birch-Swinnerton-Dyer猜想的全部力量，“当前技术允许我们期望的最佳有效下限”也不够，因为任何$r$的$\log（g^g）^r$都是$\ll 2^{g-1}$。</trans><trans data-src="In fact, the outlook is still more bleak:  Watkins observed that if the discriminant $-d$ is divisible by all the primes up to $(\log\log d)^3$ (as $d_g$ certainly is), the product over primes dividing $d$ in the Goldfeld-Gross-Zagier lower bound is so small the resulting bound is worse than the trivial bound.">事实上，前景更为黯淡：沃特金斯观察到，如果判别式$-d$可以被所有高达$（\log\log d）^3$的素数整除（当然是$d_g$），那么在Goldfeld-Gross-Zagier下界中，素数除以$d$的乘积是如此之小，结果界比平凡界更糟糕。</trans><trans data-src="If the implied constant is made explicit, Zhang's result would eliminate the possibility of one class per genus for discriminants above some bound.  ">如果将隐含常数显式化，张的结果将消除超过某个界限的判别式每属一类的可能性。</trans><trans data-src="For example, neglecting the constant, the lower bound is discriminants with more than 6007 prime divisors.  ">例如，忽略常数，下界是具有6007个以上素除数的判别式。</trans><trans data-src="This works out to $d>3\cdot 10^{25734}$.">这样做的结果是$d>3\cdot 10^｛25734｝$。</trans>

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8

$\开始组$ 你确定欧拉在研究这些数字之后，期望得到无穷多吗？也许最初他认为这些数字会为他提供一种方法来检查当时一些大数字的素性，但我认为他很震惊地发现，没有比1848年更大的例子了，我不相信他会继续期待这样的数字会继续出现。 $\端组$
– 康拉德
评论 2022年11月5日20:46
6

$\开始组$ 在Kani关于idoneal数的调查中mast.queensu.ca/~kani/papers/idoneal-f.pdf他引用了欧拉的话，说可能存在有限的数量：“……多头魔法师逼真的存在，后匈奴终点nullos praetera存在”（似乎更可能的是，在此之后就没有了）。在那之后，欧勒写下了“id quod eo magis est natatu dignum，quod nulla adhuc in Analysi-talis numerorum series occurrit，quae finiteo tantum terminorum numero constaret”（这更值得称赞，因为在Analysis中没有出现过这样的数字系列，因为它有有限的术语）。 $\端组$
– KConrad公司
评论 2022年11月5日22:06
1

$\开始组$ @我从多年前写的一篇解释性论文中借用了一些答案。我不记得欧拉的话是从哪里来的，所以我会听从你的。 $\端组$
– 停止
评论 2022年11月6日2:33
8

$\开始组$ 你为什么称之为“高斯和欧拉时代最后一个公开的问题”？欧拉砖问题、哥德巴赫猜想和勒让德猜想都是公开的。 $\端组$
– 用户44143
评论 2022年11月6日3:58
11

$\开始组$ @床垫F。我编辑成“最后一个”。但在我看来，你提到的问题是一次性的，不是核心问题。高斯在欧拉工作的基础上所做的天才创造了数论，使其成为一门具有凝聚力的学科。 $\端组$
– 停止
评论 2022年11月6日19:06

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