时间表排列符号定义明确的概念原因？

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2022年3月18日19:55	评论	补充	汤姆·科普兰		@TimCampion：Vandermonde行列式和相关的矩多项式、对称函数/多项式理论、n-单纯形/超三角/超四面体的体积和组合学、楔积、全图、对称群和Coxeter反射群是否不可分割地交织在一起，组合学也必须如此，这些“答案”中的代数和几何最终是相互关联的？（研究人员对这些主题的惯常偏见和偏颇熟悉程度会影响对“The”答案的投票。）
2022年3月16日12:17	评论	补充	蒂姆·坎皮恩♦		就我个人而言，我太习惯于通过后两种结构之一出现在我的生活中的组了，以至于我几乎不认为它们是代数对象！另一方面，可以用组合种的语言讨论大量的组合学，因此可以用对称群的作用来讨论；对我来说，组合物种的出现并不意味着我们已经从组合学转向了代数。
2022年3月16日12:17	评论	补充	蒂姆·坎皮恩♦		@蒂莫西·周我明白你的意思；让我稍微往后推一点。一般来说，数学论证抵制这种分为子域的分类。这里已经是这样了：没错，一个群可以被定义为一个集合，其运算满足公理——代数定义。但一个群也可以定义为一个具有一个对象和每个态射可逆的范畴——一个范畴理论定义；集体行动是一种预兆。或者，一个群可以被定义为一个连通的单截同伦类型——同伦理论定义；群作用是由离散纤维组成的纤维。
2022年3月15日16:37	评论	补充	蒂莫西·周		@TimCampion我想这取决于你的有利位置。在我坐的地方，“组合证明”只是注意置换的单线表示中反转数的奇偶性，以及这个不变量在换位下的行为。一旦我们开始讨论动作或同态，甚至群，对我来说就变成了代数。
2022年3月15日16:00	评论	补充	蒂姆·坎皮恩♦		@Timothy Chow我倾向于认为这个证据组合的证明而不是代数的一个。事实上，这是我喜欢它而不是多项式证明的一个原因，因为我认为$\Sigma_n$是一个“本质上是组合的”对象。除了审美价值外，它还使证明更加“可移植”——如果我有其他设置，在那里我想建立一个类似于对称群理论的理论，最好有一个最少的概念装置，需要在新设置中复制，以便重现$sgn$的存在等基本事实。
2022年3月14日21:41	评论	补充	大卫·罗伯茨♦		@BjornPoonen是的，谢谢你让我打消这个念头。但我很高兴组合物种附近的某些东西最终出现了！
2022年3月14日19:41	评论	补充	比约恩·普能		@戴维·罗伯茨：你想要的并不存在。从（大小为$\ge2$的有限集，注入）到（大小为2的集，双射）的任何函子都将每个自同构映射到同一同构。关于出错的例子，请询问函子会对由包含项和换位项$（34）$组成的组合$\{1,2\}to \{1,2,3,4\}to \{1,2,3，4\}$做什么。更一般地说，问题是每个置换都是偶数置换对某个较大集合的限制。
2022年3月14日10:52	评论	补充	大卫·罗伯茨♦		@比约恩，我希望得到这样的解释，但函子扩展到了有限集注射（尺寸>1）
2022年3月13日23:08	评论	补充	杨迪安（Deane Yang）		@比约恩·普南，谢谢你的精心安排。你出卖了我。
2022年3月13日22:44	评论	补充	比约恩·普能		这是一个函子，意思是说如果你使用$X\到Y$的双射将$X$的元素重新标记，那么你会得到一个相应的将$D_X/G_X\重新标记为D_Y/G_Y$的标记（这与组合有关，…）这在概念上是明确的，因为构造从未使用$X$元素的名称。
2022年3月13日22:35	评论	补充	比约恩·普能		为他人着想：说$D$是$\｛\pm1\｝^E$下的托索，只意味着$\｛\pm1\｝^E$对$D$起简单的传递作用。$Sym（X）到Sym（D/G）$的构造在所要求的意义上是概念性的，不需要辅助计算来验证它是否定义良好或是同态。对我来说，很明显，构造$X\mapsto D/G$定义了一个从范畴（大小为$\ge2$的有限集，双射）到范畴（大小$2$集，双投射）的函子，然后自动将$Sym（X）\获取到Sym（D/G）$。
2022年3月13日22:08	评论	补充	杨迪安（Deane Yang）		我不得不查一下躯干是什么，但现在我可以看出这是一个特别优雅的证明。所以我讨厌抱怨，但从什么意义上说，这是一个概念性的证明？
2022年3月12日8:29	评论	补充	HJRW公司		@蒂莫西·周：谢谢，很有趣。似乎还有更多的事情要做：说服自己$A_n$（可能是这个答案中的特征）就是$s_n\cap SO（n）$。从这个角度来看，有必要将这种关于符号映射的推理推广到行列式。
2022年3月11日18:16	评论	补充	蒂莫西·周		@比约恩·普南（BjornPoonen）这样一种基础的几何方法将非常令人兴奋，尽管我怀疑它很快就会实现。对于朝这个方向迈出的一小步，我建议欧几里德及其二十世纪的对手Nathaniel Miller和相关工作，如欧几里德的形式系统元素.
2022年3月11日17:59	评论	补充	比约恩·普能		@蒂莫西·周：如果我没弄错的话，你是在争论某些几何概念，比如欧几里德空间方向的概念，比目前用于形式化它们的代数更基本。也许你甚至在猜测有一天会有一种更几何的方法来处理sgn直接存在的地基？虽然我不知道这是否可能，但我确实喜欢这种思路。
2022年3月11日17:06	评论	补充	蒂莫西·周		即使在三维空间中，捕捉旋转的几何直觉在形式上也很困难。传统的方法要求我们构造实数并描述保持度量的连续变换。但对我来说，这并不意味着三维旋转是一个复杂的概念。它更多地说明了我们对几何学的直观掌握和我们将其形式化的能力之间的差距。
2022年3月11日16:55	评论	补充	蒂莫西·周		@比约恩·普南，我在其他评论中提到过这一点。继Atiyah之后，如果你坚持对你的问题给出正式的答案，我将接受魔鬼的提议，使用代数。但在我的灵魂里，我知道$A_n$的真正解释是几何的。代数只是为了让怀疑论者沉默。（我再次关注概念性解释而不是形式证明.)
2022年3月11日16:44	评论	补充	斯里达尔·拉梅什		回复：HJRW：就个人而言，我的观点是，这个论点基本上与mathoverflow.net/a/417692/3902，但从作为多项式的具体表示中抽象出了一点。或者本质上与标准倒置计数参数相同，但没有特别要求线性顺序。从这个意义上讲，它与给出的许多答案或问题中已经提到的方法基本相同。但它被很好地抽象出来，让人感觉更自然或不那么即兴，至少对许多人来说是这样。
2022年3月11日15:58	评论	补充	比约恩·普能		@弗朗索瓦兹。多赖：WLOG$X=\{1，\ldots，n\}$和$\sigma=（12\cdots k）$。如果d$中的$d\由标准顺序给定，则$\sigma d$与$d$相同，只是$i=1，\ldots，k-1$的边$\{i，k\}$被颠倒了。因此$\sigma$映射到$（-1）^{k-1}$。
2022年3月11日15:53	评论	补充	比约恩·普能		@蒂莫西·周：在你的解释中，你会如何解释什么是“单纯形的旋转”（特别是对于$n>4$），以及你会如何说服我它们不会生成整个对称群？
2022年3月11日13:58	评论	补充	蒂莫西·周		@是的，我不觉得它更自然。大致来说，它提供了一个代数的证明我认为是几何的事实。这没什么错，但我再也找不到了解释性的比方说，简单地计算倒置。对于我来说，$A_n$是单纯形的旋转组解释因为它的存在。
2022年3月11日8:31	评论	补充	HJRW公司		@蒂莫西·周：我很好奇。你是说你不同意普遍的观点，即这一论点在某种程度上比其他许多论点更自然？
2022年3月11日5:03	评论	补充	弗朗索瓦·多雷斯		这是一个很棒的答案！作为一种“胡说八道”：应该有一些简单而自然的方法来了解周期的奇偶性与周期长度的奇偶关系。这是怎么一回事？
2022年3月10日20:39	评论	补充	R.van Dobben de Bruyn先生		@蒂莫西·周（Timothy Chow）：我认为人们对这个问题的理解也不同。它特别要求概念的争论，所以这就是我关注的。但它是受到与学生互动的启发，所以很多答案都集中在初级的或光滑的取而代之的是论点（这在一些答案中肯定是缺失的，包括我的答案）。Poonen的答案结合了这两者。（无可否认，这个答案就是我尝试但我无法让它工作得这么好。）
2022年3月10日20:27	评论	补充	斯里达尔·拉梅什		在偶数长度2n的p下X的任何循环都会产生大小为n的p之下E的轨道，该轨道由循环的直径组成。显而易见，这些都是且仅是p的效应为-1的E的轨道。因此，p对D/G的总体影响等于（-1）^（p下X的偶数长度循环数）。
2022年3月10日20:27	评论	补充	斯里达尔·拉梅什		由于字符限制，我将略为简洁地写出它。希望这仍然是可以理解的。除了考虑Sym（X）$中$p\对D/G=（所有E）/G的方向的影响（如$\pm 1$）外，我们还可以考虑p对在p作用下闭合的任何子集$E'\substeq E$的（E'的方向）/G产生的影响。p对不相交的此类E'的并集的组合影响是其对单个E'影响的乘积。特别地，我们可以将E分解为p下的各个轨道，并分别考虑p对每个轨道的影响。
2022年3月10日20:27	评论	补充	斯里达尔·拉梅什		有趣的是，这个证明既与倒数/多项式证明有关，也与循环计数证明有关。与反演计算的关系很明确（考虑线性定向边）这与多项式的证明是一样的，也很简单（把一条有向边想象成反转时的否定，把D的一个元素想象成它所有有向边的乘积。多项式的设置是我们专门将一条边描述为与它的端点对应的变量之差）。但与循环计数的关系可能不太明显。
2022年3月10日17:18	评论	补充	蒂莫西·周		这对我来说是一个很有教育意义的问题，但我觉得我学到了更多关于数学家的知识，而不是数学。很明显，有些人的直觉与我的不一致，我觉得我必须对这种思维方式进行逆向工程，使某些观点看起来很自然，而另一些观点看起来很做作。
2022年3月10日13:18	评论	补充	大卫·E·斯派尔		@SridharRamesh至少还有一个：符号模式的子组，在任何周期都会乘以$1$。
2022年3月10日5:36	评论	补充	斯里达尔·拉梅什		哦，说得好，我忘了$X$和$E$之间的区别。
2022年3月10日1时51分	评论	补充	蒂姆·坎皮恩♦		@SridharRamesh我认为如果我们谈论$\{\pm1\}^X$的$Sym（X）$-不变子集，我会发现这个论点很有说服力，但$Sym。问题等价：如果$V$是有限维$\mathbb F_2$-向量空间，那么$\Lambda^2（V）$有多少$End（V）$-子模块？
2022年3月10日1:33	投票	接受	蒂姆·坎皮恩♦
2022年3月9日22:51	评论	补充	斯里达尔·拉梅什		我认为通常只有$\{\pm1\}^E$的四个Sym（X）不变子群：平凡的最大和最小子群，这里称为$G$的子群，以及包含all+1或all-1的二元子群。在Sym（X）的操作之前，关于$\{\pm1\}$元素的所有问题都是它包含多少个-1。如果这样一个元素的-1s数严格地介于0和\|E\|之间，那么通过将其乘以其自身的移位版本，可以说，它生成了一个正好有两个-1s的元素，而这反过来又可以用于生成所有带偶数-1s的元（即所有$G$）。
2022年3月9日19:38	历史	已编辑	LSpice公司	抄送BY-SA 4.0	链接到@DanRamras的答案
2022年3月9日17:25	评论	补充	R.van Dobben de Bruyn先生		我从我之前的评论中撤回了我的保留意见：对于阿贝尔群$a$，在更一般的$a^E\到a$设置中，类似的集合$D/G$没有$2$元素，但仍然是$a^E/G$-torsor，因此有一个注入$\iota\冒号a^E/G \hookrightarrow\operatorname{Sym}（D/G）$。我相信$D$上的$\operatorname{Sym}（X）$-和$A^E$-操作的换位符位于$G$中，因此$\operatorname{Sym}（X）\to\operator name{Sym2（D/G）$的图像位于$\iota$的图像中。（无论如何，这只与概括有关，与问题本身无关。）
2022年3月9日15:53	评论	补充	本杰明·斯坦伯格		基本上，这一论点是在杜阿迪和杜阿迪的《代数与伽利略理论》中提出的，但他们使用了一种选择函数的语言，而不是定位边缘，争论更像卡地亚。这个证据更巧妙
2022年3月9日15:44	评论	补充	蒂姆·坎皮恩♦		这个结构确实产生了一个不平凡的行动2元素集上的$Sym（X）$。因此，如果您选择不同的子组$G'$，您将对不同大小的子组执行操作，因此您将从istropy中获得$Sym（X）$的不同子组，但这些各向同性子组没有理由是正常的。所以在某种意义上，我们使用的是指数2子群总是正常的事实。事实上，这个论点隐含着这个事实的证据，这对我来说是新的。
2022年3月9日15:29	评论	补充	本杰明·斯坦伯格		我认为它很特别，因为它是唯一的索引2不变子群
2022年3月9日15:16	评论	补充	蒂姆·坎皮恩♦		我对这个证据唯一的不满是它几乎太圆滑——这向我暗示，通过将$G$作为一些其他$Sym（X）$-$\{\pm1\}^E$的不变子群，可以从$Sym。当然，后验的这些都是$sgn$的变体，但我想思考一下这个特殊的子组$G\subset\{\pm1\}^E$有什么特别之处。
2022年3月9日15:01	评论	补充	蒂姆·坎皮恩♦		我同意萨姆的观点——这是从书上得到的证据！注意：1.）要查看$Sym（X）$的操作从$D$下降到$D/G$，当然应该注意操作的兼容性：$\sigma\cdot（D\cdot G）=（\sigma\cdot D）\cdot，因此从左侧作用于$D$和$G$$G$从右侧作用于$D$）。2.）最后一句话的一个例子足以看出动作的重要性，其中$X=\{1,2，\dots，n\}$，$（i，j）=（1,2）$，$d$是标准顺序。
2022年3月9日14:48	评论	补充	萨姆·霍普金斯		我认为这就是答案。
2022年3月9日8:10	评论	补充	R.van Dobben de Bruyn先生		整洁！就像我的回答，这将确认$S_2$-或$X^2\setminuse\Delta_X\到{X\选择2}$作为键对象。但奇怪的是，它对我的引理的设置不太通用，因为最后的$\{\pm1\}$在某种程度上依赖于巧合的$\operatorname{Sym}（\{\p1\}）\cong\{\p.1\}$。（这可能是一个功能，而不是一个错误。）
2022年3月9日4:24	评论	补充	比约恩·普能		这可以被认为是大卫·斯派尔所提到的多项式论证的“组合核心”。它的优点是避免了“外部”成分，如多变量多项式、拓扑等。不需要计算来构造同态。（计算只是为了检查它是否重要，但这很容易，正如上面最后一句所解释的那样。）
2022年3月9日4:15	历史	回答	比约恩·普能	抄送BY-SA 4.0

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