(错误提前提交;待修订)关于狄利克雷定理,我认为你需要定量的版本(根据Dirichlet密度)以保持等效性.
假设
$$\sum_{\substack{p\equiva(q)\\p<x}}\frac1p=\frac{\chi_0(a)}{\phi(q)}\log\logx+O(1)$$
然后按部分求和得出 $\sum_{\子堆栈{p\equiv a(q)\\p<x}}\frac1p=\frac1\phi(q)}\log\log x(1+o(1))$$s=1+\增量$一致地美元\ delta$,
$$\开始{align}\sum_p\chi(p)p^{-s}&=\sum_{a(q)}\chi(a)\sum_{p\equiva(q)}p^{-s}\\&=\sum_{a(q)}\chi(a)\sum_n(\frac1\phi(q){\log\log n+O(1))(n^{-\delta}-(n+1)^{-\ delta})\\&=\left(\sum_{a(q)}\chi(a)\right)\left(\sum_n\frac1{\phi(q)}\log\logn(n^{-\delta}-(n+1)^{-\delta})\right)+\\&+\sum_{a(q)}\chi(a)\sum_n O(1)(n^{-\delta}-(n+1)^{-\delta})\\&=O\左(\sum_{n\geq1}(n^{-\delta}-(n+1)^{-\ delta})\右)=O(1)\,.\结束{对齐}$$
从那以后$\log L(s;\chi)=\sum_p\chi(p)p^{-s}+O(1)$我们看到了$L(1;\chi)\neq 0$.
另一方面,如果你只告诉我每个AP中有无穷多个素数,但不同的AP具有不同的渐近性美元$国防部q美元$,我不认为会得出结论。
我不知道这是否写在任何地方,但我现在将把它添加到我的课堂笔记中的家庭作业中。