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利润

算术级数中素数的解析等价

通过上下文：素数定理$\pi（x）\sim x/\log x$（非私人）等同于以下声明$\泽塔$不会在线路上消失$\Re s=1$.

我想让它澄清什么是算术级数中质数的类似等价语句。特别是，我希望能具体提及证明（或至少明确说明）以下等效性的论文或书籍：

狄利克雷定理，即在任何可容许的算术级数（modq美元$). 相当于$L（1，\chi）$对于所有Dirichlet字符$\chi\pmod q$编辑：正如已经指出的那样，这种非对称性很可能等价于约化剩余类（mod）中质数的Dirichlet密度相等q美元$). 什么样的分析语句可以等效于所有此类类中质数的无穷大？]
算术级数中的素数定理$\pi（x；q，a）\sim x/（\phi（q）\log x）$等同于以下声明$L（s，\chi）$不会在线路上消失$\Re s=1$对于所有Dirichlet字符$\chi\pmod q$.

当然，如果这些说法本身是错误的，我希望得到纠正，并指出文献。

答案

<trans data-src="Regarding Dirichlet's Theorem, I think you need the quantitative version (in terms of Dirichlet density) for the equivalence to hold.">关于狄利克雷定理，我认为你需要定量版本（根据狄利克雷密度）来保持等价性。</trans><trans data-src="Suppose">假设</trans><trans data-src="$$\sum_{\substack{p\equiv a(q)\\ p<x}} \frac1p =  \frac{\chi_0(a)}{\phi(q)} \log\log x+O(1).$$">$$\sum_{\substack{p\equiva（q）\\p<x}}\frac1p=\frac{\chi_0（a）}{\phi（q）}\log\logx+O（1）$$</trans><trans data-src="Then summing by parts gives for $s=1+\delta$ that, uniformly in $\delta$,">然后按部分求和，得出$s=1+\delta$，统一为$\ delta$，</trans><trans data-src="\begin{align*}">\开始{align*}</trans><trans data-src="\sum_p \chi(p)p^{-s}">\sum_p\chi（p）p^{-s}</trans><trans data-src="&= \sum_{a(q)} \chi(a)\sum_{p\equiv a(q)} p^{-s} \\">&=\sum_{a（q）}\chi（a）\sum_{p\equiva（q）}p^{-s}\\</trans><trans data-src="&= \sum_{a(q)} \chi(a) \sum_n \bigg(\frac1{\phi(q)}\log\log n +O(1)\bigg)\big(n^{-\delta}-(n+1)^{-\delta}\big) \\">&=\sum_{a（q）}\chi（a）\sum_n\bigg\\</trans><trans data-src="&= \left(\sum_{a(q)} \chi(a)\right) \left (\sum_n \frac{\log\log n}{\phi(q)}\big(n^{-\delta}-(n+1)^{-\delta}\big) \right) \\ &\qquad{}+ \sum_{a(q)} \chi(a) \sum_n O(1)\big(n^{-\delta}-(n+1)^{-\delta}\big) \\">&=left（sum_{a（q）}\chi（a）\right）\left（\sum_n\frac{\log\logn}{\phi（q）{\big（n^{-\delta}-（n+1）^{-\ delta}\big）\rift）\&\qquad{}+\sum_{a\\</trans><trans data-src="&\ll \sum_{n\geq 1} \big(n^{-\delta}-(n+1)^{-\delta}\big) \ll 1">&\ll\sum_{n\geq1}\big（n^{-\delta}-（n+1）^{-\ delta}\bigh）\ll 1</trans><trans data-src="\end{align*}">\结束{align*}</trans><trans data-src="And since $\log L(s,\chi) = \sum_p \chi(p)p^{-s} + O(1)$ we see that $L(1,\chi)\neq 0$.">由于$\log L（s，\chi）=\sum_p\chi（p）p^｛-s｝+O（1）$，我们看到$L（1，\chi）\neq 0$。</trans><trans data-src="On the other hand if you only told me there were infinitely many primes in each AP, but with different asymptotics for different $a$ mod $q$, I don't think the conclusion would follow.">另一方面，如果你只告诉我每个AP中有无穷多个素数，但不同的$a$mod$q$具有不同的渐近性，我认为结论不会成立。</trans><trans data-src="I have no idea if this is written up anywhere but I'll now add it to the homework in my course notes.">我不知道这是否写在任何地方，但我现在将把它添加到我的课堂笔记中的家庭作业中。</trans>

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1

$\开始组$ 在伊瓦涅克（Iwaniec）和科瓦尔斯基（Kowalski）的书（2.27）中，解释了$\sum1/p$在一个算术级数$1\mod{N}$上的发散是如何立即将所有$L（1，chi）$非零化为导体$N$的。 $\端组$
– 维塞林·迪米特洛夫
评论 2020年4月13日4:47

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