补充。感谢所有参与的人！让我谦恭地向那些对此感到恼火的人道歉（这是可以理解的），我认为这不过是徒劳的尝试。如果你认为这个问题（如果有道理的话）应该局限于双曲线-抛物线-椭圆细分的有趣表现，那么我完全同意（尽管部分想法是按照你认为合适的方式解释这个问题）；我之所以让它开放，主要是因为韦尔三分法，这是一种完全不同的类型，远远不止是一种等级制度，我对听取其他人的意见和阐述感兴趣。例如，看看爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）如何在一次引人入胜的布尔巴基（Bourbaki）演讲中，以威尔（Weil）三分法为基础，在兰兰兹（Langlands）和电磁二元论（electro-magnetic diumbities）之间引入了一种平行关系，他将这两个概念作为进入几何兰兰兹项目舞台的物理学思想的跳板。或者以基本三维（从etale上同调的观点来看）物体及其分支覆盖物之间珍贵的三边平行线为例：$\mathbb{P}（P）_{\mathbb{F} （_q）}^1$、$\mathrm{Spec}（\mathbb{Z}）$和$S^3$，数字字段中的素数对应于三倍的结，$\log{p}$对应于双曲线长度，等等。

对于那些不相信代数曲面有一个简洁的三分法的人（他们认为应该用Kodaira维来形成四分法），更不用说在高维代数几何中了，我在这里引用了Sándor Kovács的答案，它相当雄辩地证明了双有理几何的基本三分法：

具有（反）充分正则丛的光滑投影变种的“频率”如何？

原始帖子。从许多目的来看，尤其是在分类层次结构或Weil关于数学基本统一性的“大图”中，似乎三分法比双边词典或“要么”问题更准确地捕捉到数学现实。当然，最基本的是三分法消极的-零-积极的由完整的有序字段$（\mathbb{R}，<）$---这是时间之箭，如果你愿意的话，或者是一个动态系统进入过去/现在/未来状态的调节。正如下面的一些例子所证明的那样，这种三分法是数学中各种各样的分类方案的基础，尽管是粗糙的。

其他的分毛法来自于对数学类比的仔细研究。数学家总是喜欢通过类比发现；他们非常重视不同但松散连接的领域提供的直觉。在这样做的过程中，他们受到了一种默契的、柏拉图式的数学基本统一信念的指导。一个例子是有限几何与黎曼曲面之间的相似性。为了解释这种平行关系，实际上为了理解它，有必要在字典中提供一个“中间列”：数字域和算术曲面的算术几何。这导致了三分法，韦尔在给他的姐姐、哲学家西蒙·韦尔的一封信中如此清晰地解释了这一点（1940年他因拒绝参军而在狱中写了这封信）。正如我们所知，这种观点导致了数学研究的一个全新领域。

下面我列出了一些其他珍视的数学三角学。我有兴趣看到其他人，也许更专业。这个是我的吗问题:在列表中添加更多三叉肌此外，我对任何人可能有的任何想法都感兴趣，例如关于以下任何问题。3是粗分类方案中最普遍的数字吗？公平地说，给定的三分法与原始三分法$（-，0，+）$相呼应吗？在给定的三分法中，对应的三面词典是否有一个自然的“中间列”？这个“中间专栏”是最基本、最有趣还是最难以捉摸的？

数学中的三角学：一些例子。

• 拓扑、几何和分析的结构是实线$\mathbb{R}$。塔斯基的八个公理用完整的二进制总阶<、二进制运算+和常数1来描述它。（乘法是后来出现的——塔斯基的公理暗示了这一点——布尔巴基对实域的定义也是如此这个完整的有序字段）。这些公理衍生出的符号三分法$（<，=，>）$和$（-，0，+）$在整个数学中都有影响。

• 例如，有三个常曲率空间，导致三个最大对称几何体：双曲线、平面（或欧几里德）和椭圆（例如球面形式）。

• 局部对称空间分为三种类型：非紧型、平坦型和紧型。

• 在复杂分析中，有三个简单连接的布：黎曼曲面$\Delta$、$\mathbb{C}$和$\hat{mathbb}C}$。

• 紧致黎曼曲面的共形自同构群的连通分量是以下三个之一：琐碎的，$S^1\次S^1$，$\mathrm{前列腺素}_2（\mathbb{C}）$。

• 基本群的复杂性，首先由拓扑曲面表现出来：真正的非阿贝尔人（也许我们可以说：阿纳贝利亚人）-阿贝尔（或更一般地，包含有限指数幂零子群）-和琐碎的（或者更普遍地说，有限的）这当然与Lee Mosher的答案提出的有限生成群的增长主题有关。

• 在动力学中，一个固定点（或周期循环）可以是排斥的、无关紧要的或吸引的。

• 在瑟斯顿关于表面同胚的工作中，映射类群的元素根据动力学被分为三种类型：伪阿诺索夫、可约和有限阶。

• 在代数几何中，正则丛的正性是分类和最小模型问题的核心。更普遍地说，正性是代数几何的一个显著特征。有关令人愉快的讨论，请参阅科勒对拉扎斯菲尔德著作《代数几何中的正定性》的评论。（《公牛杂志》，第43卷，第2期，第279-284页）。最基本的例子是代数曲线的三分法（有理、椭圆、一般类型）。

• 在双有理代数几何中非常粗略地说，有三种类型的流形构成了一般的流形：有理曲线、Calabi-Yau流形和一般类型的流型（如果你喜欢，也可以是双曲线类型）。例如，代数曲面要么：1）允许一束有理曲线；或2）允许椭圆曲线束或是阿贝尔曲线或K3（或K3的双商）；否则3）它是通用型的。阿贝尔（Abelian）和K3公司是Calabi-Yau流形的例子。

• 更具体地说，考虑光滑超曲面$X\subset\mathbb{P}^n$。根据学位$d$与维度的比较，他们分为三种类型。如果$d\leqn$，它们包含大量有理曲线（当然是无数条）。如果$d=n+1$，则它们是Calabi-Yau流形的一个示例，并且通常情况下包含可数无穷多条有理曲线。（给定次数的有理曲线数的生成函数是一个非常有趣的函数，在量子引力物理学中具有重要意义。）如果$d\geq n+2$，那么$X$是一般类型的，并且它被推测为通常情况下只包含有限多条有理曲线。（更准确地说，Bombieri和Lang推测，一个一般类型的变种只包含有限多个非一般类型的极大子变种）。

• 在丢番图几何中，有理点应该来自有理曲线和阿贝尔变换。零星的例子被认为是有限的。这导致了有界（大，即指数）高度的有理点数量增长率的以下三分法：多项式增长-对数增长-$O（1）$。此外，即使在维度1中，阿贝尔变种的情况也是最深刻和最神秘的。

• 在拓扑学中，有趣的维度似乎分为三个性质不同的范围：$d=3$、$d=4$和$d\geq5$。（尽管这可能会让它有点过度拉伸）。其中，四个维度——“中间一列”——是最神秘的，也是与物理学最相关的。

• 当然，“Weil三分法”至少可以追溯到Kronecker和Dedekind：曲线$\mathbb美元{F} （_q）$ -数字字段-黎曼曲面阶级场理论和川川理论是这种三分法的有力例子。另一个例子当然是zeta函数和黎曼假设。

• 人们会试图将后一种三分法扩展到[非阿基米德世界（$p$-adic，profinite）-全局算术-阿基米德世界（几何、拓扑、复变量）]如果中间的圆柱不包含（大部分）侧翼圆柱。同样，三重[$l$-adic上同调动力Hodge结构]可能不会被接受。这里有一个关于主题的变体（你可能会发现它是垃圾，在这种情况下，把它扔掉）。有两种方法可以完成（或限制）规则多边形$C_n$。第一种方法是将$C_n$想象为$\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb2{Z}$，并取直接限额（在这种情况下，工会，或合成：$\rightarrow$），即$\mathbb{Q}/\mathbb2{Z}$。完成后，我们得到了圆$S^1=\mathbb{R}/\mathbb2{Z}$，这是最简单的流形。第二种方法是将$C_n$看作$\mathbb{Z}/n$，并取射影极限（或解构：$\leftarrow$），即$\hat{\mathbb{Z}}=\prod_p\mathbb{Z} （p）$，圆圈的定义版本。这样，阿基米德（连续）对象和$p$-adic对象可以被视为相同的有限对象。将$C_n$作为更一般的有限群，我们得到基本上一方面，所有的李群；另一方面，还有所有的亵渎集团。

• 当然，我们生活在三个可感知的空间维度中并不符合我们的要求。但在1984年，马宁发表了一篇文章（“几何学中的新维度”），在这篇文章中，他以数论（阿拉克洛夫几何）和物理学（超对称）的思想为指导，提出存在三仿射超模式$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x_i；\xi_j]$是“局部由$\mathbb{Z}/2$-分级超交换环所环的拓扑空间范畴的对象”。这里，$\xi_j$是“奇数”反交换变量，与“偶数”变量$x_i$交换。请参阅他在“三个空间-2000”的图片中的三个坐标轴$x、\xi$和$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}$。算术轴$\mathr{Spec}\ mathbb}Z}$在复杂代数几何中是隐式的，在诸如Ax-Grothendieck定理和Fano流形中有理曲线的构造等问题中是必不可少的。

• 在线性群理论中，宽松地说，有一个三分法：$\mathbb{G} _米$（线性圆环）-半单形-$\mathbb美元{G} a（_a）$（万能）.

• 代数群：还原的-阿贝尔变种-万能的。特别是一维群的分类：$\mathbb{G} _米$-$E$-$\mathbb{G} _（a）$. (谢谢，Terry Tao！)

• 变量：中间可交换的代数群，有：乘法类型-阿贝尔品种-加法类型（unipower）.

• $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$和$\mat血红蛋白{H}$是连续统上唯一的有限维结合除代数。(谢谢保罗·雷诺兹、特奥·B和萨姆·勒沃伦！)

• 物理学最基本的偏微分方程：波动方程(双曲线的)-热量和薛定谔方程(抛物线)-拉普拉斯方程(椭圆形). (谢谢Alexandre Eremenko！)

• 无限有限生成的组有$1,2$或$\infty$个ends。(谢谢shane.orourke和Artie Prendergast-Smith！)

• 随机游走可以是暂时的、空循环的或正循环的。(谢谢Vaughn Climenhaga！)

• Zeta函数可以通过动态（Artin-Mazur）实现；$\mathbb{Z}$上有限型格式的算术（Riemann和Hasse-Weil）；和几何（双曲曲面的Selberg zeta函数）。

• 在模型理论中，超稳定理论、严格稳定（稳定但非超稳定）理论和非稳定理论之间有一个重要的三分法。

• 可以公平地说，有三种三维简单连接空格：$\mathbb{P}（P）_{\mathbb{F} （_q）}^1$，$\mathbb{Spec}（\mathbb{Z}）$在阿基米德无穷大处压缩，$S^3$。这带来了马祖疑难词典，以及素数和结（尤其是双曲结）之间富有成效的类比。