编辑-MathOverflow

你不是已登录。您的编辑将被放置在队列中，直到同行评审.

我们欢迎编辑，使文章更容易理解，对读者更有价值。由于社区成员审阅了编辑内容，请尝试使帖子比您发现的更好，例如，通过修改语法或添加其他资源和超链接。

初级分解仍然重要吗？

Atiyah和Macdonald的第50页交换代数导论，在初级分解一章的导言中，它说

在现代治疗中强调本地化，初级分解不再是这样的理论中的核心工具。

然而，我的理解是，基本上使用定位的图式理论，可能是他们所指的现代处理的一部分，并没有消除初级分解的需要。相反，人们可以并且确实（例如在艾森巴德和哈里斯）将主分解应用于方案。

因此，本地化在某种程度上消除了主分解的需要，这真的是真的吗？有没有例子表明主分解可以被其他参数取代，使得主分解仅仅是一个经典但过时的概念？否则，作者所说的这句话是什么意思？

答案

<trans data-src="Part of your question is about the relationship between primary decomposition and localization. ">您的部分问题是关于主分解和本地化之间的关系。</trans><trans data-src="Here, I think the basic connection is that if $I$ is an ideal in a Noetherian ring $R$ whose minimal primary decomposition is $I = J_1 \cap \cdots \cap J_n$ and $S$ is any multiplicative set in $R$, then a minimal primary decomposition of $(S^{-1} I) \cap R$ consists of those $J_i$ whose associated primes are disjoint from $S$. ">这里，我认为基本的联系是，如果$I$是诺瑟环$R$中的理想，其最小主分解为$I=J_1\cadots\cap J_n$，并且$S$是$R$中的任何乘法集，那么$（S^｛-1｝I）\cap R$的最小主分解由那些$J_I$组成，这些$J_I$的相关素数与$S$不相交。</trans><trans data-src="For example, in Karl's answer, this statement gives two equivalent definitions of the symbolic power by taking $I$ to be a power of a prime ideal $P$ and $S = R \setminus P$.">例如，在卡尔的回答中，这个语句给出了符号幂的两个等价定义，将$I$作为素理想$P$的幂，并将$s=R\set减去P$。</trans><trans data-src="The point is that one way to look at the usefulness of localization is that it simplifies ideals by replacing them with the intersections of only some of their primary components. ">关键是，观察本地化有用性的一种方法是，它通过仅用一些主要组件的交集替换理想来简化理想。</trans><trans data-src="From this perspective, primary decomposition seems like a *more* useful way of analyzing ideals since it gives you each primary component by itself. ">从这个角度来看，主分解似乎是一种更有用的分析理想的方法，因为它为您提供了每个主组件。</trans><trans data-src="However, the limitation of primary decomposition is that it is not unique (Eisenbud's book explains this very well if I remember correctly). ">然而，初级分解的局限性在于它不是唯一的（如果我没记错的话，艾森巴德的书很好地解释了这一点）。</trans><trans data-src="Thus, primary decomposition gives you a mix of useful information about the original ideal together with some information coming from some arbitrary choices you made during the computation. ">因此，主分解为您提供了有关原始理想的有用信息，以及一些来自您在计算过程中所做的任意选择的信息。</trans><trans data-src="Which aspects of the primary decomposition are uniquely determined by the original ideal? ">初级分解的哪些方面是由原始理想唯一决定的？</trans><trans data-src="Well, it's the set of associated primes as well as the intersections between any subset of primary components whose associated primes form an downward-closed subset of poset of the associated primes of the original ideal, i.e. exactly those ideals which show up as $(S^{-1} I) \cap R$ for some multiplicative set $S$. ">它是关联素数的集合，以及主成分的任何子集之间的交集，其关联素数形成了原始理想关联素数偏序集的向下封闭子集，也就是说，对于某些乘法集合$s$，这些理想正好显示为$（s^{-1}i）\cap R$。</trans><trans data-src="I think that some of the distaste for primary decomposition on the part of, for example, Bourbaki, comes from the non-uniqueness, whereas localization can be seen as a way of capturing exactly the unique part of primary decomposition.">我认为，一些人对初级分解的厌恶，例如布尔巴基，来自于非唯一性，而本地化可以被视为一种准确捕捉初级分解独特部分的方式。</trans><trans data-src="As came up in the comments, primary decomposition is very useful computationally. ">正如评论中提到的，主分解在计算上非常有用。</trans><trans data-src="Here, the non-uniqueness is not a problem since computations typically depend on many choices anyways. ">这里，非唯一性不是问题，因为计算通常取决于许多选择。</trans><trans data-src="I suspect that in most cases, primary decomposition in and of itself is of less interest than other questions which can be answered from it: the irreducible components of the scheme, which of these are generically reduced, the irreducible components of the non-reduced locus,">我怀疑，在大多数情况下，主分解本身并没有从中得到答案的其他问题那么有趣：方案的不可约部分，其中哪些是一般化约化的，非约化轨迹的不可约化部分，</trans><trans data-src=" or whether or not the projective scheme corresponding to a homogeneous ideal is reduced (which is not necessarily the same as whether the affine scheme is reduced). ">或者对应于齐次理想的射影方案是否被约化（这不一定与仿射方案是否约化相同）。</trans><trans data-src="Each of these questions could be answered from the set of associated primes together with the localizations at the minimal primes, but the primary decomposition provides a convenient presentation of all of them.">每一个问题都可以从关联素数集和最小素数的局部化中得到答案，但主分解提供了所有这些问题的方便表示。</trans>

编辑摘要

取消

1

$\开始组$ 嗨，达斯汀，这是一个伟大的观点！你在上面含蓄地说，但也许应该强调这一点最小主分解中的主成分总是唯一的。 $\端组$
– 卡尔·施威德
评论 2012年8月22日14:09

添加评论 |

更正小错误
在不改变含义的情况下阐明含义
添加相关资源或链接
总是尊重作者的意图
不使用编辑回复作者

使用反勾号或波浪线创建代码围栏~
```
像这样
```
添加语言标识符以突出显示代码
```蟒蛇
定义函数（foo）：
打印（foo）
```
在段落之间放置返回
对于换行符，在末尾添加2个空格
_斜体_或**粗体**
通过在行首放置>进行报价
建立链接（尽可能使用https）

<https://example.com>

[示例](https://example.com)

<a href=“https://example.com“>示例</a>
MathJax方程 $\sin^2\theta$

格式帮助»
回答帮助»

MathJax帮助»