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修订版

如果$X$是一个平滑且适当的堆栈，那么它是否允许平滑且正确的地图集？

固定一个地面方案$S$（一个字段表示）。我所说的代数堆栈的atlas是指从方案（或代数空间或仿射方案）$Y$到X$的光滑满射射态射$Y\。如果堆栈$X$是平滑的，则所有地图集都是$S$上的平滑方案。

当$X$是平滑和适当的时候呢？我能找到合适的地图集吗？

如果总的来说答案是否定的，那么对于Deligne-Mumford堆栈呢？

答案

<trans data-src="The answer is "no".  ">答案是“不”。</trans><trans data-src="Consider a smooth, proper $1$-dimensional Deligne-Mumford stack over $\mathbb{C}$ which has coarse moduli space $\mathbb{P}^1$ and which has a single "stacky" point (with any nontrivial stabilizer group at that point).  ">考虑$\mathbb{C}$上的一个光滑的、适当的$1$-dimensional Deligne-Mumford堆栈，它具有粗糙的模空间$\mathbb{P}^1$，并且有一个“stacky”点（在该点上有任何非平凡的稳定群）。</trans><trans data-src="<B>Edit.</"><B> 编辑</</trans><trans data-src="B>  A more precise definition of the stack is as follows.  ">B> 堆栈的更精确定义如下。</trans><trans data-src="Let $m$ be an integer, $m>1$.  ">设$m$为整数，$m>1$。</trans><trans data-src="Let $A$ be $\mathbb{A}^2 \setminus \{(0,0)\}$ with coordinates $x$ and $y$.  ">设$A$为$\mathbb{A}^2\setminus\{（0,0）\}$，坐标为$x$和$y$。</trans><trans data-src="Let $\mathbb">让$\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="$ act on $A$ by $t\ast (x,y) = (tx,t^m y)$.  ">$通过$t\ast（x，y）=（tx，t^my）$作用于$A$。</trans><trans data-src="The stack $Q_m$ is the quotient stack $[A/\mathbb">堆栈$Q_m$是商堆栈$[A/\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="]$.  ">]$.  </trans><trans data-src="The quotient morphism $A\to Q_m$ is a smooth atlas, implying that $Q_m$ is smooth (since $A$ is smooth).  ">商态射$A\到Q_m$是一个平滑的图谱，这意味着$Q_m$s是平滑的（因为$A$是平滑的）。</trans><trans data-src="In fact, this morphism is naturally a $\mathbb">事实上，这种态射自然是$\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="$-torsor; ">$-托索；</trans><trans data-src="denote the associated invertible sheaf on $Q_m$ by $\mathcal{L}$.  ">用$\mathcal{L}$表示$Q_m$上的相关可逆层。</trans><trans data-src="It is not hard to see that this is an $m$-torsion invertible sheaf; ">不难看出，这是一个$m$-扭转可逆层；</trans><trans data-src="the $\text{m}^{\text{th}}$ tensor power of $A$ as a $\mathbb">$A$作为$\mathbb的$\text{m}^{\text{th}}$张量幂</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="$-torsor over $Q_m$ is the quotient stack $[(\mathbb">$-$Q_m$上的torsor是商堆栈$[（\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="\times A)/\mathbb">\倍数A）/\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="]$ where the $\mathbb">]$其中$\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="$-action is $t\cdot (u,(x,y)) = (t^mu, (tx,t^my))$.  ">$-action是$t\cdot（u，（x，y））=（t^mu，（tx，t^my））$。</trans><trans data-src="This admits a "trivializing" morphism to $\mathbb">这承认了$\mathbb的“琐碎化”形态</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="$, $(u,(x,y)) \mapsto u/x^m = u/y$, each defined on the appropriate open $\mathbb">$，$（u，（x，y））\mapsto u/x^m=u/y$，每个都在相应的打开$\mathbb上定义</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="\times D(X)$ or $\mathbb">\乘以D（X）$或$\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="\times D(y)$.  ">\乘以D（y）$。</trans><trans data-src="The only nontrivial stabilizer group is $\mathbf{\mu}_m$ acting on the $\mathbb">唯一重要的稳定器组是作用于$\mathbb的$\mathbf{\mu}_m$</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="$-orbit $\{0\}\times \mathbb">$-轨道$\{0\}\times\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="$ inside $A$.  ">$A$中的$。</trans><trans data-src="So $Q_m$ is a Deligne-Mumford stack.  ">所以$Q_m$是Deligne-Mumford堆栈。</trans><trans data-src="Finally, $Q_m$ is finite over its coarse moduli space $\mathbb{P}^1$, where the $\mathbb">最后，$Q_m$在其粗模空间$\mathbb{P}^1$上是有限的，其中$\mathbb</trans><trans data-src="{G}_m">{G} _米</trans><trans data-src="$-invariant morphism $A\to \mathbb{P}^1$ is just $(x,y) \mapsto [x^m,y]$.">$-不变态射$A\to\mathbb{P}^1$只是$（x，y）\mapsto[x^m，y]$。</trans>

编辑摘要

取消

$\开始组$ 我懂了。我能问你怎么建造这样的烟囱吗？ $\端组$
– 雅各布·贝尔
2012年7月31日12:22
$\开始组$ 你使用所谓的“根结构”，这是（粗略地）在余维一中创建堆叠结构的一种方式。请参阅Charles Cadman，“使用堆栈在曲线上施加相切条件”。 $\端组$
– 丹·彼得森
2012年7月31日12:37
$\开始组$ 这个例子很古老。很容易看出，没有一个有限的故事地图集是代数空间。需要做更多的工作才能看到，没有一个合适的、平滑的地图集，它是一个代数空间。 $\端组$
– 杰森·斯塔尔
2012年7月31日13:25
$\开始组$ 非常感谢，我需要一点时间来消化你写的东西（我担心我们的定义或琐碎可能不同）。 $\端组$
– 雅各布·贝尔
2012年7月31日13:49

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